FLUIDODINAMICA DELLA TURBOLENZA - MODELLI DI TURBOLENZA AD UNO E A DUE EQUAZIONI

Ingegneria Meccanica e Gestionale

· MODELLI DI TURBOLENZA AD UNO E A DUE EQUAZIONI

· Marco Capozzi

· INTRODUZIONE

· L’approccio RANSE

· Forma di Reynolds dell’Equazione di Continuità

· Forma di Reynolds dell’Equazione di Navier-Stokes

Nel presente articolo si introducono i concetti di base della modellazione della turbolenza

INTRODUZIONE

Il moto turbolento dei fluidi segue leggi casuali che possono essere inquadrate nel campo delle leggi statistiche. Un’ottima definizione di turbolenza è data da Z.U.A. Warsi:

“La forma prevalente del moto dei fluidi in natura è di tipo irregolare e caotico. Se il flusso, oltre ad essere caotico ed irregolare, ha una natura diffusiva e dissipativa, allora il flusso è detto turbolento”

Le equazioni di Navier-Stokes in forma non stazionaria possono descrivere il moto di un fluido in maniera adeguatamente precisa, ma –purtroppo- la loro soluzione diretta è di fatto impossibile stanti le attuali limitazioni di potenza di calcolo dei computer: essa richiederebbe delle discretizzazioni di domini di calcolo talmente dense da non risultare praticamente proponibili, fatti salvi alcuni casi elementari. La strategia risolutiva diretta è nota comunemente con l’acronimo DNS, dall’inglese Direct Numerical Simulation.

La casualità del moto del fluido dovuto alla turbolenza è determinata dalla casualità con cui avvengono gli urti fra le molecole che compongono il fluido stesso. Esistono, quindi, dei fenomeni microscopici e macroscopici legati ai meccanismi di turbolenza la cui interazione è spiegabile solo attraverso un’analisi particolarmente spinta del fenomeno. Da un punto di vista pratico, però, la scala microscopica non è interessante, né tanto meno lo è, ancorché fattibile, l’approccio DNS; sono state di conseguenza elaborate delle teorie che descrivono con sufficiente approssimazione il fenomeno della turbolenza e sono implementabili in opportuni algoritmi di calcolo.

L’approccio LES (dall’inglese: Large Eddy Simulation) è uno dei metodi correntemente impiegati per lo studio della turbolenza. In esso vengono valutate direttamente le grandezze macroscopiche della turbolenza e vengono modellati solo gli effetti dei vortici più piccoli. E’ stato calcolato che l’approccio LES, da un punto di vista computazionale, è circa dieci volte meno intensivo rispetto alla formulazione DNS.

L’approccio RANSE (Reynolds Averaged Navier Stokes Equations), talvolta indicato anche come RANS, analizza le equazioni di Navier Stokes in cui si siano mediati i termini fluttuanti della turbolenza

L’approccio RANSE

La modellazione RANSE trae origine dalle equazioni di Navier-Stokes in cui si sostituiscono le quantità medie delle variabili e si effettua una media temporale dell’equazione così ottenuta. Data una certa quantità Q, la definizione di quantità mediata nel tempo è:

(1)

Applicando la (1) a grandezze di interesse fluidodinamico, si richiede che l’intervallo di tempo Dt sia sufficientemente grande rispetto alle fluttuazioni delle variabili di flusso cui la (1) viene applicata, considerando a tale scopo le fluttuazioni aventi frequenza minima. In virtù della (1) è possibile descrivere una quantità fisica Q come:

(2)

in cui il termine apostrofato rappresenta la componente fluttuante della quantità considerata rispetto al suo valor medio (Figura 1).

Figura 1

Considerati i vettori velocità u, v, w, la pressione p, l’entalpia h, la temperatura T, l’entalpia totale H, è possibile scrivere:

(3)

con ovvio significato dei simboli. Per definizione, la media temporale di una quantità fluttuante è nulla, per cui:

(4)

Si riportano di seguito altre proprietà delle grandezze mediate. Date due funzioni f ed g, risulta:

(5)

Per lo studio dei flussi comprimibili risulta conveniente adottare le quantità normate rispetto alla massa secondo la definizione:

(6)

In base alla (6), le grandezze (3) assumono forma:

(7)

E’ possibile ridefinire le (3) per flussi comprimibili come:

(8)

Forma di Reynolds dell’Equazione di Continuità

Per ottenere la forma di Reynolds dell’equazione di continuità è sufficiente sostituire, in funzione della comprimibilità del fluido, le (3) o le (8) all’interno dell’equazione stessa. L’equazione di continuità, se v ha componenti (u,v,w), ha espressione:

(9)

sostituendovi le (3), ricordando le (4), (5) ed effettuando la media temporale, la (9) conduce all’equazione mediata di Reynolds. La derivata temporale della densità è immediata:

(10)

per quanto concerne le derivate spaziali si ha:

(11)

Dalle (5) discende:

(12)

Considerate la (9), la (10) e la (12) si perviene alla forma di Reynolds per l’equazione di continuità, avente espressione:

(13)

Forma di Reynolds dell’Equazione di Navier-Stokes

La forma di Reynolds dell’equazione di Navier-Stokes (d’ora in poi NS) si ottiene in maniera analoga a quella dell’equazione di continuità. L’espressione dell’equazione di NS in forma canonica tensoriale in cui si siano trascurate le forze di volume è:

(14)

Dato che:

(15)

sostituendo le (15) nelle (14) si ottiene:

(16)

ossia:

(17)

Adesso è possibile mediare la (17), ottenendo:

(18)

Ricordando le (4) e le (5), la (18) si riduce a:

(19)

Riordinando la (19) si approda alla forma canonica dell’equazione di NS mediata

(20)

la quale, ricordando la definizione di derivata Stokesiana, può essere riscritta come:

(21)

In essa il primo termine rappresenta l’accelerazione media del fluido, il secondo è composto da tre parti: gradiente medio di pressione, sforzi viscosi dovuti al moto medio del fluido aventi natura simile a quelli laminari, sforzi apparenti dovuti al trasporto di quantità i moto causato dalle fluttuazioni turbolente. Gli sforzi viscosi causati dal terzo termine sono raggruppati all’interno di un tensore, detto tensore degli sforzi di Reynolds, avente espressione:

(22)

Le equazioni RANSE necessitano di opportuni modelli di turbolenza per poter essere risolvibili. Tali modelli possono essere di vario ordine in funzione del numero di variabili in essi coinvolto, e sono ancora oggetto di studi e ricerche in tutto il mondo in quanto il modello definitivo, adatto a descrivere qualunque configurazione geometrica e valido per ogni numero di Reynolds, deve essere ancora determinato.