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· STRATO LIMITE: LA STRAORDINARIA IDEA DI LUDWIG
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INTRODUZIONE
Nella
settimana dell’8 Agosto 1904 nella città di Heildeberg (Germania), conosciuta
essenzialmente per la sua architettura barocca, per il suo castello e per
essere la prima sede universitaria tedesca (a partire già dal 1386), un
piccolo gruppo di matematici e scienziati si incontrò per il terzo Congresso
Internazionale di Matematica. Uno
dei partecipanti al congresso era Ludwig Prandtl, 29-enne professore al
Politecnico di Hannover. La presentazione di Prandtl al congresso fu
solamente di dieci minuti ma quel tempo gli fu necessario per illustrare un
nuovo concetto che avrebbe rivoluzionato la Fluidodinamica. La sua
dissertazione, ed il conseguente articolo che fu pubblicato fra le memorie
del convegno l’anno successivo, introdusse il concetto dello strato limite in
un flusso su una superficie solida. L’importanza dell’idea di Prandtl si
capisce immediatamente se si pensa che il moderno mondo dell’Aerodinamica e
della Fluidodinamica ne risulta tutt’ora dominato. La sua incredibile idea
gli sarebbe dovuta valere sicuramente il Premio Nobel che non gli fu mai
conferito, ma ai maligni piace dire che il Comitato della Fondazione Nobel fu
riluttante nel premiare uno scienziato per risultati raggiunti nella ormai
vecchia fisica classica. La Fluidodinamica prima
di Prandtl Per
capire l’importanza dell’innovazione introdotta da Prandtl bisogna
necessariamente fare un passo indietro immergendosi in ciò che era la
Fluidodinamica fino a Prandtl. Gli
albori della disciplina risalgono al III sec a.C. quando Archimede ed Erone,
nel III secolo a.C., postularono la legge del parallelogramma per vettori, le
leggi del galleggiamento e delle spinte idrostatiche. Gli
etruschi, successivamente, costruirono imponenti opere di acquedotti e
fognature ma non hanno lasciato evidenza dei loro principi di calcolo (che
invero hanno portato ad ottime realizzazioni alcune delle quali ancora
funzionanti). Nel
Medio Evo il buio più totale. Nel
quindicesimo secolo grazie anche all’opera di Leonardo da Vinci (1452-1519)
si riavvia l'interesse alla Fluidodinamica con una strana alternanza di
momenti di avanzamento teorico con quelli sperimentali (non sempre gli uni
antecedenti agli altri). Leonardo in questo periodo, come anticipato, diede
un bell’impulso al progresso della scienza dei fluidi derivando l'equazione
di conservazione della massa e descrivendo in modo accurato molti flussi:
getti, salti idraulici, formazione di vortici, corpi a bassa ed ad alta
resistenza, prototipi di macchine fluidodinamiche (pompe, elicotteri,
paracadute). Il
francese Mariotte nel XVII secolo costruì il primo tunnel a vento e misurò la
resistenza di corpi. La
razionalizzazione dell’analisi del moto venne fatta, ovviamente, da Isaac
Newton (1642-1727) il quale dedicò il secondo volume dei suoi Principia Matematica (1687)
esclusivamente all’analisi della statica e dinamica dei fluidi. A Newton,
inoltre, si deve la descrizione della fenomenologia della viscosità dei
fluidi. Una
formulazione matematica più evoluta della Fluidodinamica è, però, disponibile
a partire solo dal secolo successivo alla pubblicazione dei Principia, infatti, è solo con il
contributo di Daniel Bernoulli (1700-1782), Jean le Rond d’Alembert
(1717-1783) e Leonard Euler (1707-1783) che si raggiunge questo risultato. Di
questi straordinari scienziati fu Euler che diede il maggior contributo
strumentale e concettuale alla Fluidodinamica infatti egli fu il primo a
descrivere il flusso di un fluido in termini di campi tridimensionali di
pressione e velocità e a modellare i fluidi come continui deformabili. Euler
applicò per lo studio della dinamica dei fluidi il principio di conservazione
della massa e la fondamentale seconda
legge di Newton ottenendo due equazioni a derivate parziali non lineari
accoppiate le quali contengono il campo di pressione e di velocità. Il
lavoro di Euler produsse una forte evoluzione nella Fluidodinamica Teorica,
però, Euler scrisse le sue equazioni senza mettere in conto l’effetto
dell’attrito agente sulla particella fluida per effetto del suo stesso stato
dinamico: Euler non considerò gli effetti della viscosità. Bernoulli,
in seguito, ricavò alcune soluzioni integrali delle equazioni di Euler mentre
d’Alembert arrivo a formulare il suo celebre paradosso: sui corpi immersi in
un fluido è assente la forza aerodinamica (stando alle conoscenze
dell’epoca). La
risoluzione di questo paradosso non era alla portata dei fluidodinamici di
allora; lo studio degli effetti viscosi, infatti, venne fatto quasi esclusivamente
da sperimentali: Chèzy, Pitot, Borda, Weber, Francis, Hagen, Poiseuille,
Darcy, Manning, Bazin, Wiesbach in quell’epoca lavorarono in special modo a
problemi idraulici viscosi quali canali aperti, resistenza di scafi, flussi
in tubi, onde superficiali, pompe e turbine fornendo dati di ottimo livello,
molte volte raggiunti in modo crudo con correlazioni ma senza comprensione
degli aspetti fisici fondamentali. I
fluidodinamici non avevano ancora messo in conto gli effetti della viscosità
nelle loro equazioni, si dovette aspettare un altro secolo finchè non si
giunse a scrivere un sistema di equazioni non lineari più elaborato di quello
di Euler, che ora chiamiamo Equazioni di Navier-Stokes. Le
equazioni di Navier-Stokes furono derivate per la prima volta di Claude-Louis
Navier (1780-1836) nel 1822 e poi indipendentemente da George Stokes
(1819-1903) nel 1845. Attualmente queste equazioni rappresentano lo standard
nella descrizione matematica della dinamica dei fluidi e non è stata ancora
ottenuta la loro soluzione analitica, in particolare, i matematici sono stati
in grado di dimostrare solamente la buona posizione del problema in forma
debole e, purtroppo, non è stata ancora dimostrata l’esistenza e l’unicità
della soluzione delle equazioni in forma forte; tale problema costituisce,
fra le altre cose, uno dei sette problemi matematici del millennio del Clay
Mathematics Institute ed è di viscerale importanza nella comprensione
dell’idoneità delle Equazioni di Navier-Stokes
nel porsi come modello in grado di descrivere tutti gli aspetti della
Fluidodinamica ed in particolare di descrivere i meccanismi di generazione
della turbolenza. L’assenza
di soluzioni per le equazioni di Navier-Stokes risultò essere particolarmente
frustante nell’analisi di diversi problemi pratici in cui era importante
calcolare lo sforzo di taglio alla parete di un corpo immerso in una corrente
fluida. Tale difficoltà si esaltò particolarmente all’inizio del XX secolo
con l’invenzione del primo aeroplano da parte di Orville e Wilbur Wright e la
conseguente necessità di calcolare la resistenza e la portanza dei profili
alari. Nel
flusso dell’aria attorno ad un generico profilo alare si avrà necessariamente
che il fluido esercita una forza sul profilo. Nella Figura 1 vengono mostrate
le due sorgenti di forza: la pressione e lo sforzo viscoso di taglio il quale
deriva dall’attrito del fluido con la parete solida.
Figura 1 Per
determinare la forza che il fluido esercita sul profilo (che è poi è quella
che permette di sostenere il peso dell’intero velivolo nelle applicazioni
aeronautiche) gli aerodinamici devono calcolarsi la distribuzione della
pressione e dello sforzo viscoso di taglio sulla superficie dell’ala. All’inizio
del XX secolo la distribuzione di pressione si poteva ottenere con l’aiuto di
una serie di approssimazioni; in ogni caso, il calcolo della distribuzione di
pressione è meno problematico di quello degli sforzi di taglio in quanto è
possibile assumere il fluido non viscoso senza commettere errori, il calcolo
degli sforzi viscosi, invece, richiede l’introduzione dei termini viscosi
nelle equazioni del moto, cento anni fa, purtroppo (o per fortuna?), le
equazioni di Navier-Stokes non potevano essere risolte in alcun modo. Ci si
trovava in condizioni critiche. Lo Strato Limite Ludwig
Prandtl nel suo articolo, presentato al congresso di Heidelberg, intitolato “Über
Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung” (Sul moto dei fluidi con poco
attrito) diede la prima descrizione del concetto di strato limite permettendo
di calcolare teoricamente (solo su particolari geometrie) gli sforzi viscosi.
Egli, assumendo la condizione di adesione del fluido alla parete solida,
teorizzò che gli effetti dell’attrito viscoso fossero concentrati in una
sottile regione del campo di moto, lo strato limite, di dimensione
caratteristica molto minore di quella caratteristica del corpo investito
dalla corrente fluida e localizzata in prossimità ed in corrispondenza del
corpo solido. Il concetto di strato limite è chiarito schematicamente dalla
Figura 2.
Figura 2 Risulta
abbastanza facile convincersi, osservando Figura 2, che la velocità cambia
molto in direzione normale alla superficie, e ciò vuol dire che lo strato
limite è una regione con forti gradienti di velocità e, questo, in accordo
con la legge di Newton-Petroff (secondo cui gli sforzi viscosi di taglio sono
direttamente proporzionali ai gradienti di velocità), significa che gli
sforzi viscosi di taglio nello strato limite risultano essere molto intensi.
In definitiva la resistenza all’avanzamento di un corpo in una corrente
fluida associata agli sforzi viscosi non risulta affatto trascurabile al
contrario di quanto alcuni fluidodinamici pensassero agli inizi del XIX
secolo. Un altro grande risultato di Prandtl. La
separazione del flusso dalla parete solida è poi un altro grande successo
della teoria di Prandtl. In
determinati casi ed in certe condizioni completamente determinate da
condizioni esterne il flusso può separare dalla parete solida, in queste
particolari condizioni di flusso nella parte posteriore del corpo si forma la
scia (essenzialmente una regione di aria morta) come si può notare in Figura
3.
Figura 3 La
separazione assume molta importanza in Aerodinamica in quanto come sua
conseguenza produce una radicale variazione della distribuzione di pressione
sulla superficie del corpo. L’alterazione della distribuzione di pressione è
responsabile di una resistenza all’avanzamento del corpo nella corrente
fluida nota sotto il nome di Resistenza di Forma (Form Drag). In condizioni d
fenomeni di separazione importanti (dimensione caratteristica della scia
grande) la resistenza di forma risulta essere maggiore di quella di attrito e
se ne capisce subito l’importanza, prima accennata, che questa riveste in
Aerodinamica. Prandtl spiegò tale effetto come segue. Le
condizioni di flusso che tendono a promuovere i fenomeni di separazione sono
quelle che riscontrano un incremento di pressione nella direzione del flusso
(gradiente di pressione avverso) in quanto in tali condizioni la pressione (e
parallelamente alla pressione agiscono anche gli sforzi viscosi di taglio)
tende ad arrestare la particella fluida finché si giunge ad una condizione in
cui il profilo di velocità ha tangente geometrica verticale (Punto S, Figura
4) o, equivalentemente, una variazione di concavità; a partire dal punto S,
quindi, si ha la separazione della corrente fluida dalla parete che consiste
nel sollevamento dello strato limite rispetto alla parete solida. (Vedi
Figura 4)
Figura 4 La
conoscenza dell’andamento della velocità all’interno dello strato limite (a
cui si può arrivare applicando le equazioni derivanti della teoria di Prandtl)
permette localizzare il punto di separazione del flusso che è, come detto, un
elemento importante in ottica di calcolo della resistenza aerodinamica di un
corpo. L’articolo
del 1905, oltre agli appena citati importantissimi risultati, aprì una nuova
stupefacente frontiera nell’Aerodinamica e nella Fluidodinamica, infatti, il
flusso attorno ad un corpo, alla luce dei risultati di Prandtl, può essere
diviso in due regioni: a un sottile strato in prossimità della superficie del
corpo (lo strato limite) dove le forze di attrito viscose sono comparabili
con quelle d’inerzia e una regione, esterna allo strato limite, in cui le
forze viscose sono trascurabili. Il
lavoro di Prandtl, nonostante la sua straordinaria originalità, rimase
confinato per molti anni nella stretta cerchia dei suoi collaboratori
all’Università di Gottingen (dove si trasferì già l’anno dopo del suo
risultato rivoluzionario assumendo la direzione dell’Istituto di Fisica
Tecnica rimanendovi fino alla fine della sua carriera) e ritornò a galla a
livello internazionale solo nel 1908 quando Henrich Blasius, studente di
Prandtl, pubblicò, sulla rispettata rivista Zeischrift fur Mathematik und Physik, l’articolo dal titolo
“Strati Limite in Fluidi con Poco Attrito” in cui discusse lo strato limite
su una lastra piana e su cilindro circolare. Blasius riuscì nella soluzione
delle equazioni dello strato limite
in entrambi i casi. Per la lastra piana ottenne addirittura, per la
Resistenza d’Attrito, una soluzione più raffinata di quella ottenuta da Prandtl
stesso nel celeberrimo articolo del 1904. Per il cilindro circolare, ottenne
il punto di separazione del flusso collocato nella parte posteriore del
cilindro. Del
lavoro di Blasius si trova traccia anche nei moderni testi di Fluidodinamica,
infatti, le equazioni dello strato limite, pur rimanendo delle equazioni a
derivate parziali non lineari e accoppiate, sono più semplici delle equazioni
di Navier-Stokes (nel caso di moto piani si ottiene un’unica equazione a
derivate parziali non lineare del terzo ordine), comunque per certe
condizioni di gradiente di pressione nel flusso le equazioni dello strato
limite si riducono ad una sola equazione differenziale ordinaria e questa
semplificazione si ha, ad esempio, in condizioni di gradiente di pressione
costante lungo uno parete piana orientata parallelamente al flusso ad angolo
di attacco nullo e l’equazione che ne deriva e tutt’oggi chiamata equazione
di Blasius. Nel
1921 Theodere von Karman, professore all’università di Aachen, ottenne
l’equazione integrale della quantità di moto attraverso il semplice
espediente di integrare le equazioni dello strato limite in direzione
ortogonale alla direzione in cui lo strato limite stesso si sviluppa.
L’equazione di Von Karman è applicabile direttamente ad una moltitudine di
casi di interesse pratico e, grazie ad essa, la teoria dello strato limite
ebbe maggior attenzione ed accettazione anche dalla comunità tecnica. Il
lavoro di Ludwig Prandtl rivoluzionò l’approccio degli scienziati ai problemi
fluidodinamici; prima di Prandtl, infatti, regnava la confusione attorno al
ruolo della viscosità nei flussi. Dopo il 1904 il quadrò fu nettamente più
chiaro, difatti, in molti casi la viscosità entrava in gioco solo in una
sottile regione immediatamente adiacente alla superficie solida. Un
grandissimo lavoro. Infine
c’è da dire che quello che Prandtl intuì era essenzialmente come trattare una
espansione asintotica non uniforme di un’equazione differenziale che possiede
un parametro “piccolo”, il lavoro di Prandtl anche diede l’impulso all’avvio
degli studi in questo settore dell’Analisi Matematica. Non solo Strato Limite Ludwig
Prandtl (Figura 5) diede moltissimi contributi alla scienza dei fluidi che
non si fermano assolutamente alla teoria dello strato limite, infatti, egli sviluppò
una teoria per il calcolo del coefficiente di portanza ed il coefficiente di
momento riferito al quarto di corda per profili alari sottili camberati; la
sua Teoria dei Profili Sottili fu sviluppata durante la I Guerra Mondiale ed è tutt’oggi usata come primo calcolo
pratico per le proprietà dei profili alari. Durante lo stesso periodo
sviluppò la famosa Teoria della Linea Portante per le Ali, anch’essa di uso
comune tutt’oggi, che diede un metodo per il calcolo dell’influenza del rapporto di allungamento
dell’ala sulla resistenza della stessa confermando l’esistenza di una
Resistenza Indotta dovuta alla presenza di vortici di ricircolo. Nell’Aerodinamica
delle Alte Velocità Prandtl ed il suo studente Theodor Mayer svilupparono la
prima teoria per il calcolo delle proprietà di un urti obliqui e di onde di
espansione in flusso supersonico; quel lavoro risalente al 1908 precede di
ben quarant’anni il primo aereo suepersonico. Negli anni ‘20,
contemporaneamente a Hermann Glauert ma in maniera indipendente, sviluppò la
prima regola di correzione dei coefficienti portanza dei profili alari
operanti a basse velocità in modo da tener conto degli effetti di
comprimibilità del fluido alle alte velocità subsoniche la quale riscosse un
grande successo negli studi sugli aerei ad alta velocità della II Guerra
Mondiale. Nel
1929 Prandtl ed Adolf Busemann applicarono per primi il metodo delle
caratteristiche per progettare con una forma adeguata un ugello supersonico.
Oggi tutti i progetti di ugelli per gallerie del vento supersoniche e di
ugelli per motori missilistici si basano sulla tecnica del 1929. Tutti
quelli citati sono solo alcuni dei tantissimi contributi dati da Prandtl, uno
dei giganti della Meccanica del XX secolo, alla Fluidodinamica e alla
Meccanica in generale.
Figura 5 Bibliografia
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