FLUIDODINAMICA TEORICA - EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

Ingegneria Meccanica e Gestionale

· EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

· INTRODUZIONE

· EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

· TENSORE DEGLI SFORZI

· EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

INTRODUZIONE

Le equazioni di Navier-Stokes le sono equazioni che descrivono il moto di un fluido reale. Esse contemplano il contributo di tutte le forze agenti su di un elemento infinitesimo di volume e sulla sua superficie. E' conveniente, per descriverne la natura matematica, procedere alla 'costruzione' passo dopo passo.

Forze

Considerata una certa massa di fluido contenuta in una regione di spazio, su di essa agiscono due tipi di forze:

· forze di volume,

· forze superficiali.

Le forze di volume sono grandezze di tipo estensivo provocate da cause esterne alla regione considerata. Tali cause sono:

· gravità,

· azioni dovute a campi elettrici e/o magnetici,

· forze non inerziali.

Dato che tali forze sono proporzionali al volume, sono espresse per unità di volume. Le forze di superficie sono forze di natura intensiva e sono riconducibili ad una interazione del fluido in esame con il resto del sistema fisico considerato estrinsecata attraverso le superfici di contorno.

Accelerazione Lagrangiana

Considerata una certa proprietà P di un fluido, indicando con u il vettore velocità si definisce accelerazione Lagrangiana o sostanziale la quantità:

(1)

EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

Conservazione del Momento

La legge di conservazione del momento afferma che la variazione di momento di una certa regione di spazio avente volume V(t) è uguale alla risultante delle forze agenti su di essa. Tale legge è, in effetti, la seconda legge della dinamica. Si ricorda che, secondo la legge di Newton, in un sistema di riferimento inerziale risulta:

(2)

ovvero:

(3)

Si consideri una particella di fluido avente velocità u la cui posizione sia individuata al generico istante di tempo t dal vettore posizione r. Denotati con f la grandezza estensiva per unità di volume, con V(t) il volume associato a tale massa di fluido e con S(t) la superficie che racchiude il medesimo, la conservazione del momento è espressa mediante la relazione:

(4)

Nella precedente equazione la quantità t rappresenta la tensione agente sulla superficie del volumetto di fluido. In seguito sarà fornita una definizione più precisa di tensione. Considerata una grandezza estensiva P scalare, vettoriale o tensoriale, la sua variazione nel tempo è esprimibile nella forma:

(5)

(6)

Sostituendo u a P nella (6) e considerata la (4) si ottiene:

(7)

Conservazione del Momento Angolare della Quantità di Moto

La legge di conservazione del momento angolare della quantità di moto afferma che la variazione del momento angolare della quantità di moto in un volume V eguaglia il momento totale ad esso applicato. In un sistema di riferimento inerziale, il momento angolare della quantità di moto di un vettore u, denotato con L, si esprime come:

(8)

Analogamente a quanto fatto prima per la quantità di moto, il momento angolare della quantità di moto riferito ad un volume ha forma:

(9)

TENSORE DEGLI SFORZI

Sia assegnato il continuo in Figura 1. Si consideri un punto interno P di tale continuo. Si sezioni il continuo mediante un piano P passante per tale punto. Se il continuo è in condizioni di equilibrio, la risultante di tutte le forze applicate ad esso deve essere nulla. In conseguenza di ciò, la risultante delle azioni scambiate da una parte del continuo sull'altra deve essere uguale ed opposta. Sia R tale risultante. Tale forza sarà applicata su di un'area S corrispondente alla sezione del continuo definita dal piano P.

Figura 1

Considerata la normale a P per P, in base al Cauchy esiste ed è univocamente determinato il limite:

(10)

Tale limite rappresenta la tensione nel punto P secondo la giacitura orientata n. Da come è definita la tensione varia puntualmente e secondo la direzione scelta. Risulta particolarmente comodo rappresentare le tensioni mediante la notazione tensoriale: essa, infatti, consente di svincolarsi dal riferimento scelto. Definito il un tensore degli sforzi s_ij , la tensione in un generico punto secondo la generica direzione n di componenti (n₁, n₂, n₃) è data da:

(11)

Considerati il teorema della divergenza, la definizione data di tensione e l’arbitrarietà dei volumi di integrazione, la (7) può essere tradotta nella forma:

(12)

In un riferimento (e₁, e₂, e₃) le componenti degli sforzi agenti in un fluido sono nove e raggruppate in un tensore avente espressione:

(13)

Da un punto di vista fluidodinamico, il tensore degli sforzi rappresenta la forza per unità di area esercitata dalla parte di fluido verso cui è diretta la normale n. Il tensore degli sforzi è simmetrico ed è dotato degli invarianti caratteristici dei tensori lineari del secondo ordine. s_ij può essere decomposto in somma di due tensori, corrispondenti uno alla componente isotropa e l’altro a quella deviatorica della deformazione. Per quanto concerne la componente isotropa, dato che s₁₁= s₂₂= s₃₃ , essa individua anche lo stato di sforzo di tipo idrostatico dovuto ad una pressione s_ii=-p applicata sul corpo. Il segno negativo deriva dal fatto che la pressione ha verso discorde rispetto a quello della normale uscente dalla superficie di contorno dell’elemento di volume considerato. Il tensore delle pressioni ha espressione ha espressione:

(14)

Nella precedente relazione P_ij rappresenta il tensore delle pressioni, lo scalare p il valore della pressione in Pa mentre d_ij è il simbolo di Kronecher. La componente deviatorica del tensore s_ij ha espressione:

(15)

Il tensore s_ij avrà, quindi, espressione:

(16)

mentre P_ij avrà forma:

(17)

Considerata la traccia del tensore (17), viene definita pressione la quantità:

(18)

Alla luce di queste definizioni è possibile riscrivere la (7) in termini tensoriali:

(19)

Si fa notare che, stante la simmetria di T_ij, risulta T_ij=T_ij^T. L'operazione di trasposizione della matrice si è resa necessaria per il prodotto scalare che compare nell'ultimo integrale della (4). Si osservi come la divergenza trasformi un vettore in uno scalare ed un tensore in un vettore.

Prodotti diadici

Considerati due vettori u(u₁, u₂, u₃) e v(v₁, v₂, v₃) si consideri la matrice:

(20)

Gli elementi di tale matrice sono dei prodotti scalari delle componenti dei due vettori. Tali prodotti prendono il nome di diade, e sono indicati in forma generica come:

La diade è quindi un tensore, e sarà utile in seguito per definire i tensori impiegati nelle equazioni di Navier Stokes.

Operatore gradiente

Dato un riferimento generico, si definisce gradiente l’operatore:

(20)

ove si è fatto uso della convenzione di Einstein, o del falso monomio. Assegnata una funzione scalare F, risulta:

(21)

Esso è, chiaramente, un vettore. Considerato un vettore v:

(22)

il suo gradiente sarà la quantità:

(23)

ossia, considerata la (22):

(24)

La (24), in base alla definizione di prodotto diadico, può essere scritta nella forma:

(25)

La (25) mostra che il gradiente di un campo vettoriale è un campo tensoriale, in misura analoga in cui il gradiente di un campo scalare è un campo vettoriale. Una volta definito questo, è possibile enunciare la fondamentale legge di Stokes.

EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

Dall'equazione (15) è nota la forma del tensore degli sforzi. Esso è una conseguenza dell'attrito, ossia della resistenza opposta da un elemento di fluido alla deformazione provocata da una qualche causa esterna. Tale resistenza è causata da una proprietà interna del fluido detta attrito interno. Considerato il tensore del secondo ordine gradu, esso può essere decomposto in di un tensore simmetrico ed uno antisimmetrico:

(26)

(27)

Il gradiente di velocità può essere espresso come:

(28)

Ricordando la definizione precedentemente data di gradiente di velocità, i tensori D_ij e W_ij in un dato riferimento avranno espressione:

(29)

(30)

Considerati i quattro postulati di Stokes:

1 - s_ij funzione continua di D_ij ed è indipendente dalle altre variabili cinematiche

2 - il tensore s_ij è simmetrico

3 - la forma s_ij gode della proprietà di invarianza galileiana

4 - per fluidi non viscosi s_ij = 0 e s_ij= -pd_ij

e considerato (se ne omette la dimostrazione) inoltre che s_ij è funzione lineare del solo tensore D_ij, definito un tensore del quarto ordine B_ikjh che crea un legame fra s_ij e D_ij è possibile scrivere:

(31)

Introdotte le costanti di Lamé m e l, è possibile dimostrare che s_ij ha espressione tensoriale:

(32)

e di conseguenza il tensore degli sforzi assume forma:

(33)

Si fa presente che le costanti di Lamé sono degli invarianti scalari e sono funzione delle variabili di stato. In base al postulato di Stokes, risulta:

(34)

Tali costanti sono piuttosto scomode da determinare, per cui si definisce il coefficiente di viscosità medio come segue:

(35)

Usando l'espressione di s_ij ottenuta nella (12) con la (15) all'interno della (11) si ottiene l'equazione di Navier-Stokes in forma tensoriale, che governa il moto dei fluidi:

(36)

Considerata la definizione di derivata sostanziale, è possibile porre la (36) anche nella forma:

(37)

La precedente equazione, essendo espressione tensoriale, ha validità in un qualunque sistema di riferimento. Si preferisce lasciarla in tale forma in quanto la (37) è suscettibile di molte manipolazioni. La si può porre, ad esempio, in coordinate cilindriche nel caso in cui si vogliano analizzare flussi assialsimmetrici. La si può riscrivere in coordinate Cartesiane, oppure in coordinate curvilinee per analizzare problemi di fluidodinamica nella maniera più generale possibile.

Usualmente la (37) viene scritta con l’equazione di continuità, di conseguenza in un riferimento generico (curvilineo o ortogonale) si ottengono 3 equazioni proiettate lungo gli assi più quella di continuità. E’ ad esse che ci si riferisce, di solito, quando si parla di equazioni di Navier-Stokes. Nel caso in cui si abbia a che fare con flussi comprimibili e/o multifase vanno necessariamente accoppiate ad essa le equazioni della termodinamica e della cinetica chimica.

Soluzione delle equazioni di Navier-Stokes

La risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes, a parte casi semplicissimi, non è effettuabile per via diretta a causa della non linearità dei termini che compaiono in esse. Si è sviluppata in proposito una branca della fluidodinamica detta fluidodinamica numerica o anche CFD (acronimo inglese che sta per Computational Fluid Dynamics) il cui scopo è quello di risolvere tali equazioni per via numerica. I metodi comunemente impiegati allo scopo sono:

· Metodo delle Differenze Finite (FDM)

· Metodo dei Volumi Finiti (FVM)

· Metodo degli Elementi Finiti (FEM)

Il Metodo dei Volumi Finiti rappresenta il metodo di calcolo usualmente adottato nella pratica, anche se non mancano esempi di applicazioni in cui si sia fatto ricorso agli elementi finiti. La CFD rappresenta un vastissimo argomento che esula lo scopo del presente articolo. Le equazioni di Navier-Stokes in forma di Reynolds (Reynolds Averaged Navier Stokes Equation, RANSE) costituiscono la base dello studio della turbolenza, oggetto ancor oggi di ricerca da parte di numerosissimi studiosi nel mondo.