FLUIDODINAMICA TEORICA - EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

Ingegneria Meccanica e Gestionale

· EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE

· CONSERVAZIONE DELLA MASSA

· CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÁ DI MOTO

· CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

SOMMARIO

Si presentano in questo articolo le equazioni di conservazione della fluidodinamica. Esse sono tre: conservazione della massa, conservazione della quantità di moto e conservazione dell’energia. Da queste tre equazioni di base se ne sviluppano altre che possono essere convenientemente utilizzate per descrivere i fenomeni fluidodinamici.

CONSERVAZIONE DELLA MASSA

Il principio di conservazione della massa afferma che, dato un volume di controllo, la variazione temporale all’interno di tale volume è nulla, cioè per un fluido di densità r risulta:

(1)

Dalla cinematica dei fluidi è possibile dimostrare che la (1) equivale a:

(2)

ove u è il vettore velocità del flusso. Il simbolo D/Dt che compare nella (2) rappresenta la derivata sostanziale o Stokesiana di r, ed ha espressione:

(3)

Essendo il volume di integrazione della (2) arbitrario, l’equazione della conservazione della massa prende forma:

(4)

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÁ DI MOTO

La conservazione della quantità di moto è la seconda legge della dinamica applicata ai fluidi: esso afferma che la variazione temporale della quantità di moto di un volume di fluido eguaglia la risultante delle forze di superficie e di massa applicate rispettivamente alla superficie ed al volume stesso.

Se V è un volume di fluido ed S la corrispondente superficie, allora:

(5)

dove f è il campo di forze volumiche agenti sull’elemento considerato, t rappresenta le azioni degli sforzi viscosi sulla superficie del volume considerato. Per inciso la (5) è il punto di partenza per le equazioni di Navier-Stokes, cardine della fluidodinamica.

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

Il principio di conservazione dell’energia è la trascrizione in forma fluidodinamica del celeberrimo principio di Lavoisier: “Nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si trasforma”.

In termini fisici, il principio afferma che la variazione nel tempo dell’energia totale contenuta in un volume di fluido V è uguale al lavoro compiuto dalle forze di massa e di superficie sommato al flusso netto di calore che attraversa la superficie del volume considerato.

L’energia interna di un fluido è legata al suo stato di agitazione molecolare. L’energia totale di un fluido è la somma di energia cinetica ed energia interna. L’espressione dell’energia totale di un fluido è data da:

(6)

in cui la u barrata indica l’energia intrinseca del fluido, il termine quadratico l’energia cinetica e il prodotto scalare rappresenta l’energia potenziale del campo gravitazionale (usualmente omesso in quanto trascurabile). Se S è la superficie che racchiude il volume V di fluido, denotata con e l’energia totale per unità di massa risulta:

(7)

La (7) è l’equazione di conservazione dell’energia. Per quanto concerne il flusso termico, in base alla equazione dei Fourier risulta:

(8)

in cui k è il coefficiente di conduttività termica del fluido e T la temperatura. Esso è negativo per la convenzione secondo la quale sono negative le quantità uscenti dal sistema.