FLUIDODINAMICA TEORICA - CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI

Ingegneria Meccanica e Gestionale

· CINEMATICA DEI CAMPI FLUIDI

· INTRODUZIONE

· PRINCIPALI GRANDEZZE FISICHE

· RICHIAMI DI ANALISI VETTORIALE

· EQUAZIONE DI CONTINUITÁ

INTRODUZIONE

La Fluidodinamica è la scienza che studia il comportamento dei fluidi. I fluidi, in senso ampio, sono tutte quelle sostanze nelle quali le forze intermolecolari sono tali da garantire un certo grado di moto relativo fra di esse.

I fluidi possono trovarsi sia allo stato liquido che allo stato gassoso. Nel primo caso le molecole sono libere di “slittare” l'una rispetto all'altra, nel secondo, invece, le forze di coesione intermolecolari sono deboli, per cui le molecole del gas sono libere di percorrere un certo cammino. Nonostante i gas ed i liquidi appartengano alla stessa categoria, la diversa entità delle forze intermolecolari determina delle caratteristiche fisiche diverse.

Un fluido viene matematicamente idealizzato come un mezzo continuo. Questo equivale ad ammettere che le osservazioni compiute sul fluido in esame riguardino una scala sufficientemente grande da poter trascurare la natura discreta (ossia numero finito di molecole) del fluido. Più precisamente, da un punto di vista fisico, un continuo è una porzione di spazio riempita di materia in modo tale che una qualunque parte di esso, comunque piccola, è essa stessa un continuo totalmente riempito di materia. Nell'analisi dei fenomeni fluidodinamici è utile il concetto di particella di fluido. La particella di fluido è un volume infinitesimo di fluido considerato alla stregua di un punto materiale.

PRINCIPALI GRANDEZZE FISICHE

Vengono di seguito riportate le principali grandezze impiegate per descrivere fisicamente un fluido.

Densità

Si consideri un volume di fluido V in un qualunque punto P dello spazio. Esso conterrà una certa massa M di fluido. Il rapporto fra la massa ed il volume V totali di fluido contenuti in una certa regione di spazio definisce la densità media r_M. Il limite:

(1)

definisce la densità puntuale. Nel caso di fluido omogeneo incomprimibile in stato di quiete, la densità media coincide con quella puntuale. Si osservi che il limite va “arrestato” prima che il volume di fluido arrivi a contenere un numero di molecole tale da perdere il senso di continuo precedentemente introdotto. La densità è una grandezza che può variare puntualmente e nel tempo. Risulta:

(2)

essendo x,y,z le coordinate cartesiane del punto in esame, t il tempo. L’unità di misura è kg/m³.

Pressione

Le molecole di un fluido sono libere di percorrere cammini del tutto casuali nello spazio. Tale fenomeno è noto come moto Browniano delle molecole. Essendo il moto casuale, le molecole sono libere di scontrarsi nello spazio, in particolare possono esserci urti (elastici) fra le molecole e le pareti di un recipiente che contiene il fluido in esame. Secondo la teoria cinetica dei gas, la definizione fisica della pressione è data dal numero medio di urti molecolari per unità di area nell'unità di tempo.

Da un punto di vista pratico, la pressione è definita come forza esercitata da un fluido in quiete per unità di area di una superficie immersa in esso. Le pressioni si misurano in Pascal, ossia in N/m².

Temperatura

Secondo la teoria cinetica dei gas perfetti in un fluido in quiete la temperatura assoluta è proporzionale alla energia cinetica media delle molecole. Definita la costante di Boltzmann K_B, risulta:

(3)

essendo T la temperatura assoluta del gas. Considerata la velocità quadratica media delle molecole v², e denotata con m la massa delle molecole, è vera la relazione:

(4)

La temperatura si misura in Kelvin (K).

RICHIAMI DI ANALISI VETTORIALE

Per definire gli argomenti che seguiranno è necessario introdurre dei richiami di cinematica dei fluidi, la quale fornisce gli strumenti in grado di descrivere il moto dei fluidi. Le grandezze e/o gli operatori che intervengono nella descrizione cinematica di un fluido sono di tre tipi:

- scalari

- vettoriali

- tensoriali

In un campo scalare, una generica grandezza è completamente definita in un punto qualsiasi del campo in un qualunque istante di tempo da un singolo numero. In un campo vettoriale, una generica grandezza è definita da più elementi, in funzione delle dimensioni dello spazio vettoriale in cui si opera. Se le grandezze, scalari o vettoriali, sono indipendenti dal tempo, il campo si dice stazionario. I tensori sono degli operatori che per l'appunto- operano su altre grandezze come, ad esempio, i vettori. Si introducono brevemente alcuni concetti di base nell’analisi del moto di un continuo necessari per poter definire matematicamente l’equazione di continuità.

Sia fissato un generico riferimento nello spazio. Si consideri una particella di fluido in moto lungo una generica traiettoria (Figura 1). Considerati due istanti di tempo t₀ iniziale e t generico è possibile associare a tale particella due raggi vettore, o vettori posizione, che descrivono rispettivamente la posizione di tale particella al tempo t₀ e t.

Figura 1

Siano essi R(X,Y,Z) ed r(x,y,z). Considerata una terna di riferimento cartesiano, il vettore r è esprimibile in funzione dei versori i₁,i₂,i₃ associati a tale terna:

(5)	r = x₁i₁+x₂i₂+x₃i₃

La precedente formula può essere espressa facendo uso della notazione di Einstein in forma compatta:

(6)	r = x_ki_k

Un aspetto molto importante nell'analisi dei fluidi sono le derivate temporali di grandezze scalari, vettoriali e tensoriali che vengono di seguito introdotte. Si consideri una grandezza F (scalare, vettoriale o tensoriale) che sia funzione dello spazio e del tempo che rappresenti una generica proprietà del fluido. F può essere espressa come F(R,t) o F(r,t). La trasformazione che consente di passare da r ad R o da R ad r è detta Jacobiano, ed ha espressione:

(7)

Si suppone che lo Jacobiano sia sempre definito in ogni punto dello spazio e ad ogni istante di tempo. Si fa notare che le grandezze in grassetto o barrate sono vettori. Sono possibili due derivate temporali della funzione F:

(8)	con r fisso
(9)	con R fisso

La prima derivata rappresenta la variazione di F nel tempo rispetto ad un osservatore fisso, la seconda rappresenta la derivata materiale o sostanziale di F, ossia la variazione di F nel tempo vista da un osservatore che si muova con il fluido.

Le velocità ottenute derivando R rispetto al tempo sono dette velocità Lagrangiane, quelle che utilizzino r sono dette Euleriane. Analogamente si procede per le accelerazioni. E’ possibile definire un legame fra le grandezze Lagrangiane e quelle Euleriane. Viene di seguito introdotto il gradiente di un vettore (anch’esso è un vettore per definizione):

(10)

Considerata la espressione dell'accelerazione Euleriana:

(11)

la derivata d/dt rappresenta la derivata temporale totale. Applicando la regola di derivazione a catena alla precedente espressione si ottiene:

(12)

o, equivalentemente:

(13)

Tenuto conto della definizione data di gradiente e tenuto conto della rappresentazione cartesiana del vettore velocità u, si introduce la derivata sostanziale Euleriana:

(14)

E' possibile dimostrare che l'operatore gradiente, dato un vettore u, gode della seguente proprietà:

(15)

In conseguenza di ciò la derivata sostanziale D/Dt assume forma:

(16)

L'operatore:

(17)

(18)

e' detto derivata sostanziale. E' da osservare che d/dt e D/Dt sono lo stesso operatore. La differenza di notazione fu introdotta da Stokes per evidenziare la necessità di distinguere i termini convettivi da quelli locali dell'accelerazione.

Considerati un campo di moto di un fluido ed una linea, se la linea risulta essere tangente in ogni suo punto alla velocità del fluido, allora essa prende il nome di linea di corrente. Le linee di corrente sono definite in un istante di tempo t, essendo la velocità del fluido definita dal vettore posizione e dal tempo stesso.

La linea percorsa da un punto materiale si chiama traiettoria. Se la velocità non e' funzione del tempo, si parla di moto stazionario o permanente.

Si richiama ora il teorema della divergenza, anche detto teorema di Gauss. Considerato un vettore di velocità u, esso e' esprimibile, in un generico riferimento, come u(u_x,u_y,u_z) o, alternativamente, come u(u,v,w). Si definisce divergenza di un vettore v lo scalare:

(19)

Dato un vettore v il teorema della divergenza afferma che:

(20)

La divergenza si può essere interpretata fisicamente come il flusso di un vettore attraverso un volume unitario. Si definisce rotazionale di un vettore un vettore, usualmente indicato con le notazioni equivalenti:

(21)

definito come segue:

(22)

EQUAZIONE DI CONTINUITÁ

Con l’applicazione dei concetti e degli operatori precedentemente esposti è possibile determinare la equazione di continuità. Essa e' una equazione basilare nell’analisi dei problemi di fluidodinamica e consente, inoltre, una prima classificazione dei fenomeni fluidodinamici in relazione alla loro maggiore o minore comprimibilità. Si consideri un volumetto di fluido all'istante t₀. Esso avrà volume infinitesimo dV₀ pari a:

(23)

essendo dX₁, dX₂, dX₃ le dimensioni del cubetto all'istante di riferimento iniziale. Ad un generico istante di tempo t il volume sarà dV. Il cambiamento di volume può essere espresso matematicamente come:

(24)

Si ricorda che il prodotto misto di tre vettori a (bxc) equivale all'area del parallelepipedo avente lati pari ai moduli dei tre vettori. In conseguenza di ciò e' possibile scrivere:

(25)

essendo J lo Jacobiano definito nell'equazione (7). Si richiamano ora la formula di Eulero, di cui si omette la dimostrazione, ed il teorema del trasporto di Reynolds. La formula di Eulero afferma che la rapidità con cui varia il Jacobiano rispetto al tempo e' data da:

(26)

Il teorema del trasporto di Reynolds e' estremamente importante in quanto consente di trattare grandezze variabili nel tempo come se fossero fisse.

Sia data una proprietà generica F del fluido riferita all'unita' di volume. Sia F = F(r,t) la generica espressione di tale proprietà. Considerato un volume di controllo V(t) variabile nel tempo, il cumulativo di tale proprietà nel volume sarà:

(27)

dove dv = dv(t), essendo anch'esso variabile nel tempo. La rapidità con cui questa grandezza varia nel tempo e' esprimibile attraverso la derivata:

(28)

Il problema associato all'ultimo integrale e' che l'infinitesimo di integrazione dv non e' fisso nel tempo, di conseguenza e' impossibile calcolarlo così come appare nella (28). In virtù della (25) e (26), e svolgendo la derivata temporale, si ottiene:

(29)

ossia:

(30)

Quindi:

(31)

ovvero, in base alla (25):

(32)

E' adesso possibile enunciare la equazione di continuità. Considerato il teorema di Reynolds, se la proprietà in questione e' la densità, la conservazione della massa contenuta in un volume di fluido V porta a scrivere:

(33)

La (33) e' valida per qualunque volume v(t), per cui e' valida sempre e risulta:

(34)

La (34) e' la forma differenziale della equazione di continuità. Per flussi stazionari essa prende forma:

(35)

che, nelle ulteriori ipotesi semplificative di incomprimibilità del fluido (densità costante), diventa:

(36)