FLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE - METODO VOF/PLIC PER FLUSSI BIFASE

Ingegneria Meccanica e Gestionale

· METODO VOF/PLIC PER FLUSSI BIFASE

· IL METODO VOF PER FLUSSI BIFASE

· RICOSTRUZIONE DELL’INTERFACCIA: METODO VOF/PLIC

SOMMARIO

Nell’ambito delle applicazioni industriali avanzate ci sono diversi casi nei quali è necessario ricostruire o tracciare numericamente l’interfaccia di separazione tra fluidi non miscibili (flussi bi- o multi-fase). Si può citare ad esempio l’applicazione di metodi numerici nei seguenti ambiti industriali: dispositivi a getto fluido, bagni di saldatura, fusione di metalli, incisione di dispositivi a semiconduttore e combustione.

In questo articolo sarà descritto un algoritmo di tracciatura dell’interfaccia conosciuto come Metodo VOF (Volume Of Fluid). In tale metodo non è direttamente tracciata l’interfaccia ma il volume che ciascun fluido occupa in ogni cella computazionale: a partire da una configurazione iniziale tale grandezza è avanzata nel tempo mediante opportune tecniche, successivamente la ricostruzione dell’interfaccia nella nuova posizione è fatta utilizzando la distribuzione del volume al nuovo passo temporale. Per questa ragione ci si riferisce talvolta al Metodo VOF come a un metodo di tracciatura del volume.

IL METODO VOF PER FLUSSI BIFASE

Il metodo VOF è basato sulla funzione caratteristica c, che assume valore 1 per la fase di riferimento e 0 nell'altra complementare. Poiché i fluidi considerati sono non miscibili e incomprimibili, la funzione caratteristica, che non cambia il suo valore nell'inseguire la particella di fluido elementare, è quindi trasportata passivamente dal flusso e soddisfa la seguente equazione:

(1)

dove u è il campo di velocità condiviso dai fluidi. La funzione colore, o frazione di volume, C è la versione discreta di c e rappresenta la frazione occupata dal fluido di riferimento di ogni cella appartenente alla griglia. Celle non interessate dall'interfaccia avranno un valore di C pari a 1 oppure 0 , mentre quelle tagliate dall'interfaccia esibiranno valori di C compresi tra 0 e 1 (in Figura 1 è mostrato il campo scalare C).

Figura 1

Ad ogni passo temporale della simulazione la posizione dell'interfaccia non è nota: la sua geometria deve essere dedotta dalla conoscenza del campo scalare C. Assumendo che C soddisfi l'equazione (1), è necessario integrare nel tempo tale equazione per conoscere i flussi della funzione colore attraverso i contorni delle celle. Da questo si evince come la procedura di ricostruzione sia da eseguire in due passi. Il processo di ricostruzione non è unico, infatti data una certa distribuzione del campo scalare C la geometria assunta dall'interfaccia dipende dall'algoritmo di ricostruzione implementato. Secondo questo tipo di implementazione euleriana, il Metodo VOF è quindi di natura puramente geometrica.

La funzione colore C permette, mediante la formulazione ad un fluido, la simulazione di flussi bifase (anche non isotermi) risolvendo il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali descritto in Termofluidodinamica Bifase, Ing. V. Marra (Ingegneria Strutturale, Fluidodinamica Strutturale, Termofluidodinamica.

RICOSTRUZIONE DELL’INTERFACCIA: METODO VOF/PLIC

Il dominio computazionale considerato è bidimensionale e costituito da celle quadrate. Il metodo descritto per la ricostruzione è il VOF/PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) il quale approssima l'interfaccia mediante un segmento di retta definito (Figura 2), nel sistema di riferimento locale della generica cella, dall'equazione seguente:

(2)

Figura 2

La determinazione delle costanti m_x, m_y e a dell'equazione (2) è effettuata adottando una procedura a due passi:

· calcolo della normale all'interfaccia m=(m_x, m_y);

· determinazione della costante a in modo che la frazione di area della cella tagliata da tale linea e occupata dalla fase di riferimento sia uguale a C;

Al fine di rendere più chiaro il significato delle costanti m_x, m_y e a, riscriviamo l'equazione (2) nel seguente modo:

(3)

Analizzando l'equazione (3), la porzione di interfaccia ricostruita nella generica cella può quindi essere identificata come quella avente distanza a dal punto di origine del sistema di riferimento locale, situato nell'angolo in basso a sinistra della cella di riferimento, e coefficiente angolare m¢.

La determinazione di a, data la frazione di volume assegnata e la direzione normale nella cella computazionale considerata, è quindi un problema avente soluzione unica solubile mediante il soddisfacimento della condizione di conservazione della massa. Poiché sia m_x che m_y sono positive, la frazione di volume C è una funzione monotonamente crescente e non lineare di a.

Al contrario, la determinazione del vettore normale m non è unica. Nel metodo VOF/PLIC la ricostruzione della normale è determinata come gradiente della frazione di volume m=ÑC. Il metodo qui descritto per il suo calcolo è una versione modificata di quello di Parker-Youngs detto CIAM (Calcul d’Interface Affine par Morceaux). Consideriamo un blocco di celle quadrate 3´3 dove Dx=Dy=h (Figura 3).

Figura 3

La normale m è valutata nei quattro angoli della cella centrale (i,j) mediante una formula alle differenze finite. Ad esempio per la componente m_x valutata nell'angolo in alto a destra si ha:

(4)

Analogamente si procede per la componente m_y e per le altre valutate nei rimanenti tre angoli. Il vettore richiesto, centrato nella cella, si ottiene mediando i quattro valori trovati nei quattro angoli della cella:

(5)

Se la risoluzione spaziale adottata è adeguata alla geometria dell'interfaccia da ricostruire, cioè se non siamo in presenza di fenomeni di frammentazione o coalescenza caratterizzati da raggi di curvatura molto più grandi del passo della griglia, la funzione colore C esibisce un andamento monotóno lungo la direzione della normale all'interfaccia. Tale caratteristica è un presupposto per la corretta interpretazione da parte dell'algoritmo dell'orientamento della normale all'interfaccia. Nelle situazioni nelle quali il raggio di curvatura dell'interfaccia non è comparabile con il passo della griglia, l'algoritmo CIAM (asintoticamente del primo ordine) prende in considerazione per il calcolo della normale m anche le celle il cui valore della frazione volumetrica non consente la verifica della caratteristica di monotonicità della funzione colore C: in tale contesto tali valori aggiungono informazioni sull'orientamento dell'interfaccia relativa a un fenomeno fortemente locale e quindi non modellizzabile mediante un approccio di tipo mediato (o globale).

Da quanto esposto si evince come tali metodi siano suscettibili di miglioramenti e ulteriore approfondimento da parte dei ricercatori attualmente impegnati sul fronte della fluidodinamica computazionale bifase. Tali sforzi hanno prodotto nuovi metodi e tecniche la cui descrizione esula dallo scopo introduttivo di questo articolo.