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GRIGLIE STRUTTURATE ·
GENERAZIONE DI GRIGLIE STRUTTURATE ·
GRIGLIE NON STRUTTURATE ·
· · · · SOMMARIO
The Author wishes to thank
Dr.William M. Chan together with the
staff from NASA Ames Research Center and Dr.Anders Petersson, from CASC
–Center for Applied Scientific Computing,
who have allowed the use of some of the pictures appearing in this
article. Il presente
articolo descrive alcune nozioni sulla generazione di griglie di calcolo,
dette anche mesh o grid. Data la
notevole complessità dell’argomento vengono fornite le basi della materia
analizzandone le tecniche e gli inconvenienti più comuni, rimandando a testi
specifici l’eventuale approfondimento da parte del lettore. Nonostante
l’articolo sia stato scritto avendo in mente le applicazioni CFD, le
informazioni in esso contenute sono comunque valide anche in altri campi
delle simulazioni numeriche, ad esempio quello strutturale. L’autore desidera ringraziare vivamente Dr.
Anders Petersson, attualmente presso il CASC- Center for Applied
Scientific Computing), per aver concesso l’uso delle immagini dei grid da lui
generati, e Dr. William M. Chan del NASA Ames Research
Center per aver consentito l’uso delle immagini dei grid Chimera.
INTRODUZIONE
La
soluzione delle equazioni differenziali tramite metodi numerici necessita di
griglie di calcolo, comunemente dette grid o mesh. La griglia di calcolo è
una decomposizione dello spazio in cui si vuole studiare una PDE in domini
elementari semplicemente connessi. Una retta orientata suddivisa in un numero
N di segmenti è un grid, e tale tipo di decomposizione fu usata per decine di
anni prima dell’invenzione dei computer. Ovviamente, tali grid servivano per
usi puramente accademici. La
teoria sulla generazione dei grid iniziò a svilupparsi intorno agli Anni
Settanta quando videro luce i primi metodi numerici per la risoluzione dei
flussi potenziali per applicazioni aeronautiche. Tali metodi, detti metodi a
pannelli, ricadevano nella categoria BEM, acronimo inglese che sta per
Boundary Element Method. Dato che i metodi BEM ‘guardano’ solo la superficie
fisica del corpo considerato, la necessità di grid è limitata ad una
discretizzazione bidimensionale del contorno del corpo in questione anche nel
caso di corpi tridimensionali. Infatti la risoluzione del problema avviene su
un pannello, ossia un guscio avente spessore nullo. Per esempio: un aereo può
essere rappresentato come un guscio che approssima la sua superficie esterna.
All’infittirsi del grid la differenza fra superficie reale ed approssimata
tende ad annullarsi. La tridimensionalità di un problema viene restituita dalle normali alle superfici
dei pannelli, che variando in direzione e verso causano un orientamento delle
superfici tale da creare una superficie composta ‘tridimensionale’.
Figura 1 La
Figura 1 riporta un esempio di pannellatura di un’ala di aereo effettuata per
calcoli BEM: si osservi che pur essendo il problema tridimensionale, l’ala è
bidimensionale (non necessariamente piatta!). Le normali ai singoli pannelli
(i tasselli che compongono l’ala) servono a definire la superficie nel senso
fisico, ossia: non può esserci flusso attraverso la superficie dell’ala, al
più il flusso è tangente alla stessa. In questo modo l’ala è trattata nella
sua tridimensionalità pur restando la griglia bidimensionale. Con
l’avvento dei moderni calcolatori digitali e l’aumento di memoria, velocità
dei processori e loro parallelismo operativo, e con il contemporaneo
progredire delle tecniche numeriche, si è approdati ai metodi di campo. Tali
metodi, a differenza dei BEM, consentono la risoluzione del campo di moto di
un fluido in una regione di spazio fisico che comprende il corpo, fornendo
quindi una visione completa del campo di moto. E’ però fondamentale disporre
di grid decisamente più complessi rispetto a quelli dei metodi a pannelli,
essendo richiesta la capacità di descrivere geometrie bi o tri dimensionali
nella loro interezza. Da qui (anni ottanta) si sviluppò la grid generation,
ossia una branca della meccanica computazionale il cui solo scopo è quello di
creare mezzi per discretizzare il dominio di definizione delle PDE. Se ne discute
di seguito. GENERAZIONE DI GRID La
generazione di grid è uno degli aspetti più delicati della fluidodinamica
numerica: un cattivo grid, infatti, conduce sicuramente ad una soluzione
quantomeno approssimata, se non del tutto errata. Un grid di buona qualità
viceversa consente alle volte anche di accelerare la soluzione, oltre ad
aumentare attendibilità della soluzione determinata. I
grid possono essere di due tipi: strutturati e non strutturati. I grid non
strutturati sono relativamente recenti (primi anni novanta) e rappresentano
oggi un ramo molto promettente della grid generation in funzione della
semplicità da essi offerta nella generazione dei grid, cosa molto appetibile
da un punto di vista commerciale, ma anche apprezzata da chi debba eseguire
analisi numeriche. I
primi grid adottati furono quelli Cartesiani, che consistono in una
suddivisione in celle quadrangolari (rettangoli o quadrati) del dominio di
calcolo. Ovviamente in tre dimensioni si fa uso di cubi o parallelepipedi.
Nonostante questi grid siano i più semplici da generare, il loro uso in caso
di superfici non planari costringe ad approssimare le superfici con elementi
piccolissimi, oppure a ricorrere ad algoritmi interpolatori che di norma sono
funzione della geometria da descrivere. Il principale vantaggio dei grid
Cartesiani è dato dalla semplicità di programmazione. La Figura 2 rappresenta
un esempio di mesh Cartesiana generata sulla superficie di un profilo alare:
si confronti la densità della griglia sul bordo del profilo rispetto a quella
della Figura 3 (Grid Non Strutturato su Profilo NACA 0012). Attualmente
i grid Cartesiani non sono molto usati.
Figura 2 I
grid di tipo body conforming o body fitted, noti anche col termine di grid
strutturati (Structured Grids), rappresentano l’evoluzione dei grid
Cartesiani. In tale tipo di grid si definiscono delle coordinate curvilinee
che seguono l’andamento del corpo (da cui la dicitura body fitted).
Diversamente da quanto accade con i grid di tipo Cartesiano, in questo caso
la PDE non può essere risolta nello spazio fisico, bensì è necessario
ricorrere ad uno spazio computazionale. L’esistenza di due spazi costringe
all’uso di trasformazioni di spazi vettoriali, ed impone anche una
trasformazione delle condizioni al contorno. Esistono vari modi di generare
un grid di tipo strutturato, più avanti si forniranno dei cenni in merito. I
grid di tipo non strutturato sono costituiti da triangoli in due dimensioni e
da piramidi o tetraedri in tre dimensioni. Le griglie non strutturate offrono
la possibilità di generare mesh in maniera quasi automatica con un intervento
ridotto al minimo da parte dell’operatore: è questo un vantaggio non
trascurabile che le altre tipologie di grid non hanno, poiché utenti anche non
esperti di grid generation possono risolvere problemi su superfici complesse.
Anche i grid di tipo non strutturato sono affetti da svantaggi che verranno
analizzati meglio in seguito. In
applicazioni di tipo fluidodinamico – si vedrà di seguito – è spesso
conveniente adottare grid ibridi, ovvero di tipo strutturato sulla parete del
corpo e di tipo non strutturato nel resto del volume di controllo in cui si
ricerca la soluzione delle PDE considerata.
Figura 3 Discretizzazione
dei Domini di Calcolo
Prima
di passare ad un’analisi più dettagliata delle varie tipologie di grid, è
bene esporre alcuni concetti di base sulla generazione di griglie. Per
definizione, una griglia è una suddivisione di uno spazio fisico
(Figura 5). Lo spazio fisico è lo spazio in cui avvengono i fenomeni che si
vogliono analizzare. Tipicamente tale spazio viene indicato con una terna
curvilinea ortonormale (x1, x2, x3), che nel
caso limite diventa un riferimento Cartesiano. Lo spazio computazionale
(Figura 4) è quello in cui vengono calcolate le PDE. Una volta risolta la PDE
nello spazio computazionale, la soluzione viene riportata nello spazio fisico
mediante opportune trasformazioni.
Figura 4 La
generazione del grid prevede l’esecuzione di due passi intermedi. Il primo
consta nella creazione di uno spazio di distribuzione. Lo spazio di
distribuzione è una sequenza di numeri creata tramite una funzione monodroma
che ad ogni punto dello spazio fisico ne associa uno dello spazio di
distribuzione. Dati:
e
una sequenza di numeri:
se esiste una
funzione che leghi univocamente i punti dello spazio definiti in (1) alle sequenze
definite in (2), tale distribuzione prende il nome di distribuzione curva di
punti. Ampliando il concetto a spazi a due o tre dimensioni si definiscono le
distribuzioni superficiali e volumiche di punti. Nella generazione di grid si
fa ricorso allo spazio di distribuzione dei punti per poi creare uno spazio
computazionale di soli numeri naturali. Si faccia riferimento, in proposito,
alla Figura 5: notare come varino i valori e la distribuzione spaziale delle
coordinate dei punti passando dallo spazio fisico a quello di distribuzione e
da questo al computazionale. Ad ogni passaggio è associato uno Jacobiano da
risolvere (ed invertire) per via numerica con tutti i problemi ad essa
associati.
Figura 5 Il
processo di generazione di reticoli di calcolo coinvolge molti aspetti:
algoritmi, programmazione, capacità di calcolo, tipo di grid, ecc. Bharat
Soni propone i seguenti punti chiave di cui tenere conto per analizzare
criticamente la generazione dei grid: 1.
Facilità della generazione del grid, 2.
Qualità del grid, 3.
Trattamento delle condizioni al contorno, 4.
Grandezza media delle celle che compongono il grid, 5.
Facilità di discretizzazione della PDE, 6.
Potenza dei computer, 7.
Ore-uomo necessarie alla creazione del grid, 8.
Complicazioni geometriche derivanti dalla geometria da descrivere, 9.
Facilità di uso del software, 10.
Limiti dello schema di simulazione adottato, 11.
Efficienza della simulazione effettuata, 12.
Accuratezza della simulazione, 13.
Possibilità di impiego di metodologie multigrid, 14.
Adattabilità, 15.
Possibilità di parallelizzazione del codice. Il processo di generazione di una mesh,
indipendentemente dalla tipologia, consta dei seguenti passi fondamentali: a)
Mappatura della geometria: viene stabilita una corrispondenza
biunivoca fra lo spazio fisico e quello computazionale, utilizzando ove
necessario suddivisioni multiblocco nel caso di griglie strutturate o di tipo
ibrido. Nel caso di grid non strutturati o di tipo ibrido è anche necessario
stabilire una relazione d’ordine fra i nodi delle celle. b)
Generazione della geometria: le superfici ed i volumi che definiscono la geometria da analizzare
vengono descritte numericamente. Tale descrizione numerica comprende sia la
mappatura che l’associatività dei punti. c)
Modellazione computazionale: viene generato un grid attorno alle
superfici suddette. Nel caso di mesh strutturate vanno coniugate strategia
multiblocco (funzione della geometria in questione), distribuzione di punti,
regolarità della superficie da descrivere ( smoothness in inglese,
levigatezza in italiano, ma l’uso del termine ci sembra improprio) e
ortogonalità delle celle. Per quanto concerne le mesh non strutturate occorre
controllare sia la distribuzione dei punti sulla superficie che la ‘crescita’
della mesh (si chiarirà meglio in seguito il significato di tale parola). Si
consideri che il 90% del tempo consumato nella generazione di un reticolo di
calcolo è speso sulla corretta distribuzione di punti sulle superfici da cui
verrà generato il grid. Tale compito è indubbiamente noioso, ma di
fondamentale (e sottovalutata) importanza per la qualità del grid generato e,
di conseguenza, della soluzione della PDE. GRIGLIE
STRUTTURATE
Metodi
Algebrici
La
generazione di grid mediante metodi algebrici è ottenuta attraverso l’impiego
di tecniche di interpolazione al fine di creare una distribuzione di punti
nello spazio comprendente sia i punti sul contorno che quelli interni al
dominio. Dato che le mesh vengono create a partire da relazioni funzionali
più o meno semplici, i metodi algebrici sono in generale efficienti da un
punto di vista computazionale. I
grid di tipo strutturato ricadono in due categorie: quelli Cartesiani e
quelli a mappatura conforme (grid curvilinei). Considerati lo spazio e la
geometria da descrivere, siano r() ed W() due riferimenti. E’
possibile ‘saltare’ da un riferimento ad un altro mediante una opportuna
trasformazione. Lo spazio fisico è rappresentato dal vettore r, quello
computazionale dal vettore W. Per mesh Cartesiane i due riferimenti
coincidono e la trasformazione è una identità. In tal caso, infatti, spazio
computazionale e geometrico sono la stessa cosa. Le griglie Cartesiane
offrono indubbiamente una grande facilità di programmazione opposta, però, ad
una estrema difficoltà (se non impossibilità) nel descrivere superfici che
non siano planari. Si veda la Figura 6 nella quale è riportato il confronto
fra Grid Cartesiano e Grid a Mappatura Conforme.
Figura 6 I
grid di tipo curvilineo consentono di aggirare l’ostacolo rendendo necessario
il ricorso a trasformazioni geometriche (endomorfismi). Tali trasformazioni
coinvolgono il calcolo numerico di uno Jacobiano, e ciò comporta errori di
arrotondamento, di troncamento, di approssimazione da sommarsi a quelli
generati dal solutore della PDE discretizzata. Il processo di
generazione della griglia di calcolo prevede sempre la presenza nel dominio
di calcolo di almeno un ‘taglio’ necessario ad effettuare la mappatura della
regione in una regione rettangolare quale è quella del dominio di calcolo. Secondo
il tipo di mappatura del dominio si hanno grid di tipo “O”, “C”, “H” (comunemente
indicati nella letteratura anglosassone come O-type grid, C-type grid, H-type
grid). Il tipo di mappatura è dettato dalla maggiore o minore semplicità con
cui si riescono a descrivere le geometrie assegnate. E’ opportuno ricordare
che questi grid nacquero dall’esigenza di risolvere problemi di CFD
bidimensionali su profili alari. Si tenga presente che il dominio di calcolo
viene mappato in una geometria regolare la cui rappresentazione interna del
computer è una matrice multidimensionale su cui poi lavorerà il solutore
delle PDE. La presenza di un taglio, e della mappatura effettuata, comporta
la duplice esigenza di riscrivere le condizioni al contorno, scegliere la
posizione opportuna del taglio (non necessariamente singolo) e assegnare le
debite condizioni di continuità lungo i tagli effettuati.
Figura 7 La
Figura 7 schematizza la logica di mappatura di un grid di tipo “O” su di un
profilo alare (che è un grid polare) mostrando le connessioni fra lo spazio
fisico e quello computazionale. Si osservi che il bordo B-A-B del profilo
alare diventa il lato inferiore del quadrato, il taglio BC effettuato
all’interno del campo viene trasformato nei due lati del quadrato. Il bordo
esterno della “O” viene ridotto al lato superiore. Il taglio impone la
necessità di eguagliare i flussi sui due lati del quadrato, altrimenti il
flusso perde significato fisico. Le condizioni al contorno di tangenza del
flusso sulla superficie del profilo alare devono essere imposte sul lato
inferiore del quadrato, mentre le condizioni al contorno all’infinito devono
essere imposte sul lato superiore del quadrato. La
Figura 8 mostra un esempio di grid ad O: si noti la maniera in cui vengono
imposte le condizioni al contorno e come la mesh venga trasformata passando
dallo spazio ”fisico” a quello computazionale.
Figura 8 La Figura 9 mostra,
invece, la struttura di un grid a C: esso fu sviluppato essenzialmente per mappare
profili alari bidimensionali, in seguito fu esteso ai profili
tridimensionali.
Figura 9 La mappatura a C genera
un grid molto più preciso di quello O-type, di conseguenza la soluzione numerica
delle PDE sarà più attendibile, soprattutto nei casi critici in cui ci siano
fenomeni di turbolenza e/o onde d’urto. E’ interessante notare come questa
volta la superficie del profilo, nello spazio computazionale, sia circondata
dalle superfici corrispondenti al taglio. Ovviamente, è necessario provvedere
ad opportune operazioni sulle condizioni al contorno e sulla continuità della
soluzione lungo il taglio. Per ultima si riporta
un’immagine di un grid ad H (Figura 10): questa volta il profilo alare cade
all’interno dello spazio computazionale, così come i tagli. In questo caso il
dominio non è più a connessione semplice, però è possibile descrivere
geometrie più complesse in tal modo.
Figura 10 Se il flusso è per
esempio orizzontale, è necessario associare ad ogni cella anche informazioni
sulla normale, altrimenti sarebbe impossibile assegnare le dovute condizioni
al contorno. La stessa cosa vale per le condizioni al contorno da applicarsi
sulla superficie del profilo alare. Si accenna al fatto che nel caso di
solutori a differenze finite per esempio di tipo forward è necessario
introdurre gli “halo points”, ossia dei punti fantasma che consentano di
utilizzare lo schema anche ai limiti del dominio computazionale (che, si
ricorda, non coincidono con i limiti dello spazio fisico), eventualmente
facendo saltare il solutore dal bordo ai punti interni. Geometrie
intricate possono rendere di fatto impossibile la generazione di una griglia
monoblocco. In tali situazioni l’utente del programma di generazione di grid
deve ricorrere a strategie multiblocco o di sovrapposizione. Riguardo a
quest’ultimo tipo di grid, vale la pena di ricordare che vengono chiamati
Chimera grid. Il nome deriva da un mostro della mitologia Greca poiché i grid
ottenuti per sovrapposizione non hanno un aspetto molto bello (all’occhio!).
Si veda in proposito la Figura 11, che rappresenta l’applicazione tipica
(anzi: quella per cui nacque) di un grid Chimera: è evidente come esso venga
ottenuto per sovrapposizione di due mesh costruite su altrettanti corpi.
Operando in tal modo è possibile costruire grid strutturati (migliore qualità
della soluzione) anche su geometrie che normalmente ne renderebbero
impossibile la generazione.
Figura 11 La Figura 12 mostra un esempio di Grid Chimera
generato sulla superficie di un aereo commerciale. (Per gentile concessione
del NASA Ames Research Center)
Figura 12 - Per gentile concessione del NASA Ames
Research Center La Figura 13 mostra un particolare di un Grid
Chimera Strutturato generato sull'ala di un aereo (Per gentile concessione
del NASA Ames Research Center)
Figura 13
- Per gentile concessione del NASA Ames Research Center
Figura 14 La
Figura 14 mostra la logica di suddivisione di un ipotetico grid strutturato
multiblocco attorno ad un aereo. Dato che la geometria è complessa, lo spazio
viene suddiviso in domini relativamente semplici interconnessi in modo tale
da garantire continuità del flusso di informazioni sulle zone di interfaccia.
I punti di contorno di un dominio vengono impiegati per generare la griglia
in quello adiacente. Si osservi che la mesh generata attorno al turboreattore
è di tipo curvilineo, quella relativa all’ala è Cartesiana, ed inoltre più
celle del grid del reattore sono contenute in una del grid dell’ala. Tali
situazioni –inevitabili- rappresentano dei punti critici. In
entrambi i tipi di grid, Chimera o multiblocco, è necessario assicurare la corretta continuità del flusso di
informazioni da un grid all’altro (variabili fluidodinamiche) e la conservazione
delle eventuali condizioni al contorno presenti sui bordi del grid. Negli
schemi multiblocco, infatti, ci si può trovare nei seguenti casi: · perfetta corrispondenza delle celle, · non corrispondenza delle celle, · parziale sovrapposizione di celle,
corrispondenti e non. Le
Figure 15, 16, 17 che seguono mostrano, rispettivamente, una grid multiblocco
con celle corrispondenti, una grid multiblocco a celle non corrispondenti e
una grid multiblocco a blocchi sovrapposti.
Figura 15
Figura 16
In
aggiunta a ciò potrebbe capitare che le celle di due zone siano di diversa
natura, per esempio triangolari e quadrate: tale circostanza causa un
differente grado di approssimazione della soluzione, oltre a richiedere un
solutore capace di girare su diversi tipi di celle. Da un punto di vista
fluidodinamico si potrebbero avere discontinuità (inesistenti) della
soluzione, in ambito strutturale variazioni di rigidezza fittizie
(irrigidimento a taglio o a flessione). Alcune
geometrie sono irrealizzabili mediante griglie di tipo strutturato. Si pensi
ad un’elica navale, un grid di una zona montagnosa (per calcoli di
fluidodinamica delle masse d’aria). In tali casi è necessario ricorrere alle
griglie non strutturate che, essendo “svincolate” dalla geometria di
partenza, riescono la dove i grid strutturati falliscono, oppure si può
ricorrere a griglie ibride. E’
possibile adottare strategie miste multiblocco/Chimera in modo tale da poter
descrivere geometrie eccezionalmente complesse (per esempio aerei completi,
navi), facendo eventualmente ricorso anche a mesh di tipo ibrido, ossia
strutturate/non strutturate. E’ chiaro che tali strategie vengono adottate
solamente laddove ci sia convenienza, dato che i tempi di programmazione (e
di esecuzione) dei codici di generazione griglie e dei solutori CFD sono, in
questi casi, particolarmente lunghi. La
parte fondamentale nella generazione di un grid, quale ne sia il tipo, è la
distribuzione di punti sulla superficie da descrivere: essa determina il
numero di elementi che compongono il grid (e quindi la pesantezza del grid in
termini di spazio occupato in memoria), la qualità della soluzione ottenuta
(entro certi limiti, più fitto è il grid migliore è l’approssimazione
numerica della PDE), l’allungamento delle celle, la nascita o la morte di
celle all’interno del dominio. La
Figura 18 mostra un esempio di Grid Strutturato Regolare, mentre la Figura 19
mostra un esempio di Distorsione di un Grid Strutturato
Figura 18 Figura 19 Confrontando
la Figura 18 con la Figura 19 appare chiaro il significato di nascita o morte
delle celle: dovendo variare il numero di punti lungo una direzione, l’unica
possibilità è di aggiungere o togliere alcune celle. Ciò comporta
l’introduzione nella mesh di un certo grado di irregolarità di cui occorre tenere
conto nell’analisi dei risultati ottenuti in seguito dalla simulazione
numerica. L’esigenza di creare uno spazio computazionale a partire da uno
spazio fisico infatti, comporta il ricorso ad uno Jacobiano (Figura 20). Tale
Jacobiano, nel caso di celle allungate (rapporto di allungamento maggiore di
circa 8) o aventi angoli eccessivamente acuti od ottusi, può diventare minore
o uguale a zero
Figura
20 Ciò,
da un punto di vista numerico, equivale ad affermare che il volume (area)
della cella considerata è nullo o negativo, e ciò è chiaramente impossibile.
Nei punti del dominio in cui ciò avviene si potrebbe avere mancata stallo del
solutore (loop infiniti) o convergenza verso valori assurdi. E’ perciò
necessario controllare senza troppa fretta la qualità della mesh generata. In
linea di massima una griglia è soddisfacente se: · È una valida mappatura del dominio
assegnato (volumi e/o aree positive), · Il rapporto di allungamento delle celle è contenuto
(di regola inferiore a dieci), · E’ una rappresentazione sufficientemente
‘levigata’ della geometria considerata (per esempio: una circonferenza deve
essere descritta da un adeguato numero di segmenti, sì da sembrare una
circonferenza e non un esagono…), · Gli angoli delle celle sono vicini a 60°
nei grid non strutturati, compresi fra 45° e 135° nel caso di grid
strutturati. GENERAZIONE DI GRIGLIE
STRUTTURATE La generazione di griglie
strutturate può essere ottenuta per via diretta o indiretta. La generazione
per via diretta è ottenuta mediante: · Generazione univariate (leggere in
inglese), · Generazione bivariate, detta anche TFI, la
quale a sua volta può essere: -
Lineare -
Di Hermite -
Di Bezier -
Di tipo Spline -
Una combinazione delle
precedenti strategie. La generazione di tipo
indiretto è conseguita tramite: · Risoluzione di PDE di tipo: -
Ellittico -
Iperbolico -
Parabolico · Tecniche variazionali. E’
ovvio che richiedendo questi ultimi metodi la soluzione di una equazione
differenziale, la generazione di griglie –benché di qualità superiore
rispetto a quella ottenuta tramite i metodi algebrici diretti- richiede un
maggior tempo computazionale. Interpolazioni
Univariazionali
Le
interpolazioni univariazionali sono
semplici da implementare e da usare, ma non consentono un controllo ottimale
della distribuzione dei punti all’interno del dominio di calcolo. Un migliore
comportamento è ottenuto mediante l’adozione di B-splines o curve di Bezier,
che permettono controllare sia i punti interni che quelli sul bordo. Interpolazioni
Transfinite
Le
interpolazioni transfinite (d’ora in poi: TFI, da Trans Finite Interpolation)
sono il sistema comunemente adoperato per generare griglie di tipo
strutturato evitando i problemi causati dalle interpolazioni univariazionali.
Il concetto base è quello di avere una curva madre da cui partono famiglie di
curve simili che si deformano con continuità fino a assumere, all’estremità
opposta del dominio, la forma della curva che ne definisce il bordo. Al
variare del tipo di curva utilizzata per generare le TFI si hanno le diverse
tipologie. L’interpolazione lineare prevede l’uso di polinomi interpolatori
del primo ordine, quella di Hermite impone l’impiego di polinomi di Hermite e
così via per le Spline e le curve di Bezier. Ciò
che cambia da una tipologia all’altra di TFI è la capacità di descrivere
domini geometricamente più complessi passando dai polinomi del primo ordine
alle curve di Bezier. Le TFI generate mediante polinomi di Hermite sono
caratterizzate dalla ortogonalità: una mesh possiede tale importante
proprietà se le curve che la definiscono partono e arrivano ortogonali agli
estremi del grid. Una
TFI è definita da più funzioni: 2 in 2D, 3 in 3D. Ogni funzione,
monodimensionale, prende il nome di proiettore, e la somma Booleana dei
proiettori origina la TFI secondo la formula:
La
(3) è l’espressione di una TFI tridimensionale: si osservi che è generata da
proiettori Fi monodimensionali. Nonostante
siano nate per ridurre il problema dell’overlapping anche le TFI, se
impiegate in geometrie aventi una dimensione che varia fortemente (si
immaginino geometrie a forma di tromba, imbuto), possono originare tale
problema. Per ovviare a tali inconvenienti si è passati alla generazione
indiretta dei grid. Generazione di
Tipo Indiretto
La
generazione di grid mediante tecniche dirette è particolarmente veloce, ma
non consente di ottenere grid particolarmente affinati (nel senso suddetto).
Il ricorso a tecniche indirette è allora obbligatorio nonostante le maggiori
difficoltà di implementazione ed i tempi di generazione più lunghi. L’uso di
equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) risulta utile in tal
senso, ma rende necessario l’impiego di tecniche numeriche per risolverle,
dato che non sono equazioni lineari. Così facendo, per risolvere una
equazione differenziale se ne solve un’altra, per giunta non lineare, per
generare il grid. Un
primo esempio di grid ottenuto mediante PDE è dato dalle equazioni di tipo
ellittico, come l’equazione di Laplace. Considerato un caso bidimensionale,
se x ed h sono le coordinate dello spazio computazionale, le PDE che
governano la generazione della mesh sono:
Thompson ha elaborato un
metodo più accurato del precedente tramite la soluzione dell’equazione di Poisson.
Tale metodo consente un maggior controllo della distribuzione di punti sulla
geometria da parte dell’operatore. In tal caso le (4) assumono espressione:
Nella
(5) le funzioni F
e Y sono dette funzioni di controllo (alle
volte indicate con p e q nella letteratura tecnica) in quanto consentono di
gestire la dislocazione dei punti sul bordo della geometria da descrivere
permettendo, inoltre, di gestire l’ortogonalità del grid. La loro scelta non
è facile, poiché da esse dipende la capacità del generatore di griglie di
evitare l’overlapping (vedi Figura 21 e Figura 22). Il sistema di equazioni
risultante dalla generazione ellittica viene risolto mediante tecniche SOR
(acronimo inglese da Successive Over Relaxation). Una
particolarità dell’affinamento ellittico è che le linee di grid vengono
attratte verso i vertici convessi, allontanate da quelli concavi. Ciò porta
ad un vuoto nel caso, per esempio, di un angolo interno di un rettangolo, ad
una sovrapposizione di linee se si sta creando il grid dalla parte esterna
del medesimo. I
metodi di tipo ellittico sono interessanti fintantoché non si guardi al tempo
richiesto per generare una griglia, soprattutto nei sistemi tridimensionali.
Il consumo di tempo è causato dalla necessità di risolvere le equazioni in
maniera reiterata. Nakamura (1982) risolse il problema “parabolizzando” le
equazioni ellittiche di generazione delle griglie. In tal modo (si omettono
qua le formule) si ottiene un sistema di generazione di mesh più veloce di
quello ellittico, ma anche meno regolare. Un ulteriore vantaggio degli schemi
parabolici è che sono comodi da usare per i grid multiblocco. Da un punto di
vista matematico gli schemi parabolici possono essere interpretati come una
approssimazione di quelli ellittici. I
metodi di tipo iperbolico nascono per risolvere un problema di ambito
squisitamente CFD: accade spesso, soprattutto nei problemi di aerodinamica
esterna, che la zona di interesse sia ristretta ad una regione vicina al
corpo in esame. Ciò che accade a grande distanza dal corpo ( “infinito” ) non
è generalmente di interesse pratico. Tuttavia è necessario provvedere alla
generazione di mesh anche laddove il calcolo non sia di interesse perché
bisogna provvedere le opportune condizioni al contorno. In
tali casi le tecniche iperboliche vengono incontro consentendo di generare
grid fitti nelle vicinanze del corpo e larghi a “grande” distanza da esso. Il
risultato è una griglia più leggera e tempi di calcolo ridotti rispetto ai
precedenti casi. La
tecnica iperbolica è molto efficiente poiché il grid è generato in un singolo
passo e la qualità della griglia è elevata per corpi dalle geometrie
piuttosto regolari, inoltre viene eliminata la necessità di definire punti
sul bordo esterno del dominio computazionale. Tale operazione, infatti, può
risultare dispendiosa in termini di tempo qualora si debbano definire molti
punti sulla superficie fisica del corpo in esame (si tenga presente che la
distribuzione di punti sulle superfici –quali che siano- controlla la mappatura dei punti interni della
regione di spazio oggetto della mesh) soprattutto allorché si usino le TFI.
Anche questa tecnica, come tutte le altre, è affetta da problemi: le
irregolarità geometriche presenti sulla superficie del corpo possono
propagarsi nello spazio esterno (cioè nel campo di moto del fluido), inoltre
zone concave possono causare sovrapposizione di celle (con gli ovvi
inconvenienti) e per finire il metodo non può adattare il grid ad un bordo
esterno definito. Si confrontino, a tal proposito, la Figura 21 (Grid
Omogeneo in una zona concava) e la Figura 22 (Grid sovrapposto in zona
concava): appare chiara la qualità maggiore del primo rispetto al secondo.
Figura 21
Figura 22 La
seguente tabella riassume il confronto fra le varie tipologie di grid:
Tabella 1 La
generazione di mesh tramite soluzione di PDE richiede in ogni caso elevati
tempi di calcolo se paragonati a
quelli tipici di altri metodi algebrici. Il metodo iperbolico è più rapido di
quello ellittico, il parabolico si colloca in mezzo ai due. A
titolo di esempio si riportano di seguito alcune immagini descriventi la
generazione di un grid strutturato attorno ad un elica ed attorno alla poppa
di una nave. L’elica rappresenta un caso particolarmente complesso da
risolvere a causa dello svergolamento delle pale e a causa della struttura
della zona poppiera di una nave. Si osservi il modo in cui viene suddivisa la
regione di spazio attorno all’elica e le transizioni nelle mesh alla radice
della pala (Figura 25): per unire i vari blocchi del grid si è resa necessaria
l’adozione di elementi di transizione triangolari. Tali elementi potrebbero
essere fonte di mancata convergenza o minore approssimazione della soluzione
delle PDE.
Figura 23 - Per gentile concessione del Dr. Anders Petersson La
Figura 23 rappresenta la superficie fisica di un’elica navale (per gentile
concessione del Dr. Anders Petersson), in questo caso dotata di una sola pala
(in effetti è un’elica piuttosto didattica…). Tale elica è stata ottenuta
generando delle innanzitutto delle spline, poi su tali spline è stata
definita la distribuzione di punti da cui è stato generato il grid. Quindi, a
partire dai suddetti punti è stata generata la mesh in tutto il campo. Si fa
presente che questo grid è misto, ossia Strutturato e Non Strutturato. Le Figure
24, 25 e 26 mostrano, rispettivamente, la spline di generazione del grid
dell’elica, le superfici di base per la generazione del Grid e il grid
completo attorno all'Elica.
Figura 24 - Per gentile concessione del Dr. Anders
Petersson
Figura 25 - Per gentile concessione del Dr. Anders
Petersson
Figura 26 - Per gentile concessione del Dr. Anders
Petersson GRIGLIE
NON STRUTTURATE
In
tempi relativamente recenti sono state sviluppate le griglie di tipo non strutturato
che consentono di descrivere geometrie complesse costi computazionale e
operativo (in termini di tempo speso per al generazione della griglia)
drasticamente ridotti rispetto a quanto necessario per sviluppare un grid
strutturato. Si accenna al fatto che i concetti base della generazione di
griglie non strutturate furono esposti da Dirichlet in una sua pubblicazione
nel 1850. Il
principale vantaggio di una griglia non strutturata è che è sempre possibile
suddividere un dominio in elementi triangolari, nel caso di problemi
bidimensionali), o tetraedrici, nel caso di problemi 3D. E’ inoltre possibile
variare la densità della griglia conformemente al gradiente della soluzione:
la mesh viene infittita solo dove serve, per esempio nelle zone in cui si modella
la turbolenza oppure laddove avvengono i fenomeni fisici di maggior
interesse. Ciò non sempre è possibile quando si adottino grid strutturati a
causa delle difficoltà insite nella descrizione di geometrie complesse. La
Figura 27 mostra il grid non strutturato di un profilo alare ONERA M6.
Figura 27 I
grid non strutturati presentano, inoltre, la possibilità di automatizzare il
processo di generazione con i considerevoli vantaggi pratici che ne derivano.
Allo stato attuale della tecnica tale possibilità è di fatto concretata per
alcuni preprocessori di uso commerciale. Lo
svantaggio principale dei grid non strutturati -almeno per chi debba
programmare un codice- è rappresentato dalla necessità di includere
esplicitamente i dati riguardanti la connettività. In una griglia di tipo
strutturato l’elemento i-esimo è adiacente all’ (i+1)-esimo mentre ciò non
avviene in una non strutturata, di conseguenza è necessario produrre sia
informazioni geometriche sulla mesh, sia informazioni sulla connettività dei
nodi. Per esempio: ELEMENTO NODO 1 NODO
2 NODO 3 ---------------------------------------------------------------------- 20 48 104 700 21 2 51 16 E’ evidente che le
condizioni al contorno delle singole celle richiedono un trattamento
particolare: nodi vicini nello spazio fisico diventano distanti nello spazio
computazionale con ovvia complicazione degli algoritmi risolutivi. Inoltre la
parallelizzazione dei codici e la loro vettorizzazione diventano più
complesse. E’ da osservare che nel caso di griglie di tipo strutturato le
informazioni relative alla connettività vengono memorizzate secondo una
logica a blocchi piuttosto che a celle. La memorizzazione di un numero
elevato di informazioni porta, nel caso delle mesh non strutturate, a file di
dimensioni maggiori rispetto a quelle relative al caso strutturato. Vicinanza
di Voronoi – Triangolazione di Delaunay
Si
consideri un insieme di punti non allineati e distribuiti in modo tale che
non possano giacere su di una circonferenza. L’insieme di punti che si trova
ad essere il più vicino possibile ad un vertice vi rispetto agli
insiemi ad esso vicini, è detto essere in Vicinanza di Voronoi (pronuncia:
foronoi, dal matematico Russo che definì, nel 1908, tale proprietà dei
punti). La suddivisione di un dominio nel senso di Voronoi (da alcuni
definita come suddivisione di Dirichlet)
è costituita da poligoni di Voronoi. La Triangolazione di
Delaunay (pronuncia: delonè) è la base per la costruzione di grid non
strutturati, ed è imperniata sulla Suddivisione di Voronoi, essendone
praticamente il complemento (Figura 28 ).
Figura 28 Laddove sia applicata, la
triangolazione di Delaunay produce grid che godono delle seguenti proprietà: 1)
Dato un insieme di punti, la triangolazione del dominio è univoca. 2)
Per un assegnato insieme di punti, la triangolazione di Delaunay produce i
triangoli il più equilateri
possibile. 3)
La generazione dei punti della griglia e la triangolazione sono due processi
separati. La
Triangolazione di Delaunay gode delle seguenti proprietà: · Dato un punto P del dominio ed un cerchio di
raggio r centrato in esso, non esistono punti giacenti nelle vicinanze di P
che siano contenuti all’interno del cerchio. · La triangolazione di Delaunay è quella che
massimizza il minimo angolo del quadrilatero convesso generato da due
triangoli aventi un lato in comune. Tale proprietà è detta proprietà
equiangola. La
prima proprietà è trasferibile a mesh tridimensionali laddove al triangolo si
sostituisca il tetraedro ed al cerchio la sfera. La seconda è caratteristica
dei grid bidimensionali. Per un dato punto la triangolazione di Delaunay è
sempre unica ad eccezione del caso degenere illustrato in Figura 29. Tale
configurazione è, ovviamente, da evitare in quanto formerebbe un punto di
singolarità all’interno del dominio di calcolo.
Figura 29 Esistono vari sistemi per
generare griglie non strutturate. Uno degli algoritmi più usati è il
Bowyer-Watson (1981), applicabile a sistemi bi e tri dimensionali.
L’algoritmo procede come di seguito descritto: 1. viene generato il triangolo iniziale, 2. viene aggiunto un punto in maniera casuale, 3. vengono ricercati triangoli i cui
circocentri contengono il nuovo punto, 4. i triangoli vengono cancellati creando
delle aree sempre convesse, 5. tutti i punti che risiedono nelle
vicinanze del punto in esame vengono congiunti ad esso creando in tal modo
una nuova famiglia di triangoli, 6. la struttura dei dati viene rigenerata e
si torna al punto (2). Se
il dominio di calcolo è costituito da N nodi, nel caso peggiore l’algoritmo
richiede un tempo di generazione che è ordine o(N2), nel caso
migliore è quasi o(N). E’ possibile affinare l’algoritmo in altri modi che
non vengono qua analizzati per evitare di appesantire troppo l’articolo. La
triangolazione di Delaunay è la più veloce possibile, ma può produrre,
particolarmente con elementi tetraedrici in domini 3D, triangoli non idonei
al calcolo, per esempio triangoli con angoli troppo piccoli. E’ necessario,
quindi, provvedere ad un controllo sulla geometria della mesh al termine
della generazione della stessa. Tale controllo è effettuato in maniera
automatica dai programmi di generazione di grid, e prevede di solito almeno
due spazzate del dominio: una prima di generazione, un’altra di affinamento
degli elementi generati. Normalmente è previsto un input dall’utente che può
decidere quanti punti disporre sulle superfici iniziali, impostare limiti di
accettabilità dei triangoli (di solito angoli compresi fra 30° e 120°) oppure
decidere la rapidità con cui la mesh deve crescere a partire dalle superfici
della geometria in esame. La triangolazione di Delaunay è caratterizzata
dalle seguenti proprietà: · Può essere resa molto efficiente, · Garantisce una distribuzione di punti
regolare, · È abbastanza semplice da implementare, · Il piazzamento di punti per creare i
circocentri causa elementi di bassa qualità in corrispondenza dei bordi del
dominio, · I grid tridimensionali, non essendo
garantita la equiangolarità dei triangoli componenti il tetraedro, possono
essere degeneri, · È necessario garantire una valida
connettività di Delaunay in tutto il dominio, · L’affinamento del grid in corrispondenza
dei bordi del dominio può essere difficoltosa. Metodo ad
Avanzamento del Fronte
Il
metodo di avanzamento di fronte è una tecnica alternativa per sviluppare
griglie non strutturate in cui i punti vengono generati e connessi allo
stesso tempo. Essa è essenzialmente dovuta a Peraire (1987), il quale elaborò
anche la strategia per griglie 3D nel 1990. La generazione della mesh avviene
partendo da segmenti in 2D e triangoli in 3D: vengono creati dei punti che
consentono di espandere la mesh nello spazio finché non si è riempito il
dominio di interesse con triangoli o tetraedri. La
generazione del grid è controllata in maniera tale da garantire una certa
regolarità delle geometrie generate. Il metodo di avanzamento del fronte è
caratterizzato dalle seguenti proprietà: · Gli elementi generati sono di elevata
qualità, · Gli elementi sui bordi sono
automaticamente affinati, · La procedura è localizzata, si che è
possibile, qualora necessario, procedere ad un affinamento locale della mesh. · L’efficienza è inferiore rispetto al
metodo di Delaunay, · Speciali strutture di dati sono richieste
per impostare il fronte ed ottenere una buona velocità di avanzamento del
fronte stesso. · I fronti potrebbero originare collisioni
in una zona non triangolabile. Il
problema da risolvere è il seguente: suddividere un dominio in sottodomini
elementari aventi forme triangolari o tetraedriche che abbiano al più in
comune un punto, un lato o una faccia (domini consistenti). L’algoritmo
impiegato in 2D è il seguente: 1. le curve che definiscono il contorno dei
corpi vengono discretizzate. 2. Vengono piazzati dei nodi su tali curve e
quindi creati dei segmenti unenti i nodi contigui aventi dimensione congrua
con la densità di mesh desiderata. L’insieme dei nodi e dei segmenti
costituisce, in un dato istante, il fronte di avanzamento della griglia. La
Figura 30 mostra la schematizzazione del Metodo di Avanzamento di Fronte per
la generazione di grid. 3. A partire dal fronte vengono generati i
triangoli. La generazione può avvenire o per creazione di nuovi punti, o per
connessione di punti già esistenti. 4. La procedura viene reiterata finché il
dominio non è stato suddiviso completamente. Durante il processo “di
crescita” della mesh è possibile variare l’altezza dei triangoli in modo tale
da sfoltire la griglia a mano a mano che ci si allontana dal bordo delle
curve madri. Si veda a tal proposito la Figura 31 che mostra un esempio di
grid non strutturato del profilo di Joukowsky.
Figura 30
Figura 31 Nel
caso di strutture tridimensionali si sostituiranno i tetraedri ai triangoli e
le superfici (triangolari) ai segmenti. E’ possibile combinare la
triangolazione di Delaunay con il metodo di avanzamento del fronte onde
ottenere strategie che combinino i vantaggi di entrambi i metodi. Grid
di Tipo Ibrido
Nelle applicazioni CFD
interessa in genere risolvere il campo di moto in una zona relativamente
limitata di spazio, ovvero lo strato limite. Dato che i fenomeni di
interazione viscosa fra fluido e materia sono confinati all’interno dello
strato limite, la conoscenza di ciò che avviene al di fuori di esso, fatto
salvo il caso di separazione dello strato limite, può non richiedere un grid
eccessivamente fitto, a tutto vantaggio della semplicità di generazione e
della rapidità di calcolo. La
soluzione risulta in genere essere più accurata se calcolata su grid
strutturati, le griglie di tipo non strutturato comportano soluzioni in
genere più approssimate. Da
un punto di vista di generazione delle griglie, la soluzione non strutturata
è certamente quella più semplice da adottare sia in termini di tempo
computazionale di generazione del grid sia in termini di ore-uomo necessarie
a impostare la mesh. La generazione di mesh strutturate, si è visto, comporta
una serie di problemi laddove le superfici dei corpi da descrivere non siano
sufficientemente lisce. Si
è pensato, quindi, di ideare delle mesh di tipo ibrido, ossia strutturate e
non strutturate, per usufruire dei vantaggi di entrambe le tipologie: da un
lato, le griglie strutturate garantiscono una maggiore correttezza del
risultato ottenuto dalla simulazione, dall’altro, i grid non strutturati
facilitano la generazione della mesh nel campo, oltre ad accelerare la
soluzione. In
questa maniera si ottengono risultati soddisfacenti in termini di tempi di
calcolo e precisione. E’ necessario, però, fissare l’attenzione su due
particolari: 1.
è necessario disporre di un solutore che abbia capacità di calcolo sia su
grid strutturati che su grid non strutturati, 2.
la mesh strutturata deve estendersi per tutto lo strato limite. Il
punto (1) è un vincolo notevole per chi debba codificare il solutore. Il
punto (2) evidenzia la necessità di un’attenta analisi del flusso e della
geometria prima della generazione della griglia. Le griglie ibride sono
correntemente impiegate nei problemi CFD. Metodi
Multigrid
I
Metodi Multigrid videro luce nel 1964 ad opera del matematico Fedorenko
(Russia), ma la prima applicazione pratica fu eseguita nel 1977 da Brandt
(Israele). All’inizio degli anni ’80 ci fu nella comunità scientifica
internazionale un vivo interesse nei confronti di tali metodi, e si
incominciò a produrre i primi studi estensivi sull’argomento. A titolo di
curiosità si rammenta che negli anni ’60, nell’ex URSS, i calcoli di
fluidodinamica numerica venivano svolti in grandi capannoni dove centinaia di
persone eseguivano un pezzetto di calcolo e poi lo passavano al vicino di
banco, il quale compieva un altro step e così via. Si rese necessario, quindi,
escogitare un metodo per accelerare la soluzione. I metodi multigrid non
consistono tanto in una tecnica di generazione di griglie quanto, piuttosto,
nell’uso che se ne fa. In tale tecnica, infatti, vengono adottati due grid,
uno fine e l’altro grossolano, vedasi fig. 32, in maniera tale da accelerare la convergenza della soluzione su
quello grezzo ed affinarne il valore su quello denso.
Figura 32 Un esempio classico di tecniche
multigrid è il cosiddetto V-cycle, ossia ciclo a V (Figura 33).
Figura 33 Nei suoi tratti
essenziali un ciclo a V consta delle seguenti fasi (si suppone che il lettore
abbia familiarità con i metodi numerici per la risoluzione dei sistemi di
equazioni differenziali): · il
residuo viene ridotto al minimo sul grid grossolano (h nella Figura 33), · il
residuo viene ristretto sul grid grossolano, · i
precedenti passi vengono ripetuti in maniera ricorsiva fino a che il grid a
maglia più larga non viene raggiunto (16 h nella Figura 33), · il
campo di moto retto dalle PDE viene a questo punto risolto (vertice della V), · si
interpola ricorsivamente sui vari grid finché non si è raggiunta nuovamente
la mesh di dimensione media h. · il
processo viene reiterato finché non si sia ottenuta la convergenza della
soluzione. Il detrimento di un
metodo multigrid, chiaramente, è rappresentato dalla mole di dati da gestire
nonché dalla complessità del sistema solutore-grid da utilizzare. In generale
si preferisce impiegare grid strutturati, anche se non mancano esempi di
applicazioni con griglie non strutturate. Il prezzo da pagare nel secondo
caso è di una ancora maggiore
difficoltà di programmazione. Esistono anche altri schemi multigrid, ad
esempio il W-cycle. Per maggiori informazioni si rimanda a testi specifici
sull’argomento. I metodi multigrid
lavorano bene con certi tipi di equazioni, in particolare con PDE di tipo
ellittico (lineari e non) definite in un dominio privo di punti singolari.
Per PDE non ellittiche i metodi multigrid sono di alcuni ordini di grandezza
più lenti. Da
un punto di vista di parallelizzazione del software, i metodi multigrid sono
facilmente implementabili ma richiedono un flusso di dati maggiore rispetto
ad altri tipi di solutori. Nonostante ciò il metodo
multigrid è impiegato laddove il trade-off fra complessità dei solutori,
tempi di calcolo, costi hardware e pesantezza dei grid è tale da consigliarne
l’uso. Conviene qua sottolineare un particolare: non esistono teorie
matematicamente definite circa l’uso dei multigrid, la corrente ricerca è
volta proprio a definire in maniera deterministica criteri di codifica e
d’uso delle tecniche multigrid da anteporre agli attuali criteri
sostanzialmente euristici. Per trarre il maggior
vantaggio possibile dall’uso dei multigrid è necessario effettuare una
ottimizzazione spinta dei codici. Tale ottimizzazione è –purtroppo-
dipendente dal tipo di problema che si vuole risolvere nonché dal tipo di
solutore adottato, e richiede quindi personale altamente specializzato. Sono
questi gli handicap principali dei metodi multigrid. Affinamento dei Grid L’affinamento dei
reticoli di calcolo è noto come h-refinement. In realtà più che di
affinamento di un grid, che farebbe pensare ad un miglioramento generalizzato
della griglia, questo metodo consiste nell’inserzione di punti nella griglia
laddove sia necessario incrementare l’accuratezza della soluzione, aumentando
in tal modo il numero di elementi e diminuendone al contempo la dimensione
media a livello locale. L’affinamento è relativamente facile da ottenere nel
caso di grid di tipo non strutturato, mentre è decisamente più complesso da
realizzare per le griglie strutturate, e lo è in ogni caso quando si abbiano
mesh multiblocco. Uno dei più comuni inconvenienti generati dagli affinamenti
dei grid è quello del peggioramento del rapporto di allungamento delle celle.
Dato che i punti vengono aggiunti a mesh già creata, diventa difficile rigenerarla
in modo tale da garantire la conservazione di tale parametro. Grid Adattivi I grid adattivi sono dei
grid in cui la densità di griglia viene aumentata laddove il gradiente della
soluzione è forte. Per esempio la mesh viene infittita nelle zone dello
strato limite, oppure nelle vicinanze di un urto sonico, o ancora dove ci sia
turbolenza. In tal modo si migliora la qualità della soluzione nei punti in
cui interessa e si velocizza il processo nelle regioni di spazio in cui le
variabili fluidodinamiche non subiscono forti variazioni. In effetti, più che una
tecnica di generazione di reticoli questa è una tecnica di deformazione dei
grid mirata ad un duplice scopo: da
un lato la velocità di calcolo, dall’altro la precisione della soluzione (in
genere queste due desiderabili qualità sono antitetiche). In conclusione si riporta
una tabella riassuntiva delle caratteristiche dei grid:
Dalla precedente tabella è
possibile evincere la maggiore o minore convenienza di un grid rispetto ad un
altro. E’ da tener presente, durante la generazione della mesh, che: · più
alto è il numero di celle, migliore è la soluzione, · più
alto è il numero di celle, più tempo sarà richiesto al solutore per
convergere, · non
necessariamente aumentando il numero di celle migliora la soluzione, almeno
localmente. Si potrebbero infatti generare celle ad alto rapporto di
allungamento, oppure celle degeneri. Si consideri un elemento triangolare di
griglia (Figura 34): è possibile dimostrare che l’errore dovuto alla griglia
è proporzionale a (sen a)-1, per cui al tendere di a a zero
l’errore tende all’infinito. · Un
grid non strutturato è in genere più pesante di uno strutturato, essendo generato
un numero maggiore di celle, · I grid
strutturati consentono soluzioni più precise.
Figura 34 In base alle necessità di calcolo, tempo a
disposizione, grado di approssimazione ricercato, l’utente dei programmi di
generazione di griglie può decidere la strategia idonea da impiegarsi per un
particolare problema, ricordando che una buona soluzione numerica di una PDE
è sempre costruita su di un buon grid. |
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