FLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE - METODO DEI VOLUMI FINITI NELLA FLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE

Ingegneria Meccanica e Gestionale

· METODO DEI VOLUMI FINITI NELLA FLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE

· INTRODUZIONE

· DISCRETIZZAZIONE A VOLUMI FINITI

INTRODUZIONE

Le equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) descriventi i fenomeni fluidodinamici sono usualmente risolte con tecniche numeriche a causa della loro non linearità che rende di fatto impossibile l’integrazione analitica. L’approccio seguito col metodo delle differenze finite è essenzialmente quello di sviluppare tramite procedimenti opportuni una forma discretizzata delle derivate, o meglio, degli operatori differenziali che intervengono all’interno di una equazione. La discretizzazione dell’equazione avviene per mera sostituzione dell’operatore differenziale col suo equivalente discreto.

Tale procedimento meccanico non è applicabile a domini aventi forme irregolari. Al tempo in cui furono sviluppate tali tecniche risolutive non esistevano i computer, per cui non esisteva neanche il problema di dover rappresentare geometrie complesse mediante griglie di calcolo (grid o mesh), dovendo i calcoli essere effettuati a mano e per scopi puramente accademici.

Con l’avvento dei computer e con le spingenti esigenze di modellare flussi complessi fu subito chiaro che i metodi a differenze finite, benché meccanici –e quindi praticamente ‘semplici’ da implementare- non erano idonei per geometrie complicate e/o grid di tipo non cartesiano. Un grid di tipo cartesiano è rappresentato in Figura 1.

Figura 1

La necessità di risolvere geometrie varie imponeva l’impiego di mesh non cartesiane, per esempio vedasi ancora la Figura 1. Per affrontare la soluzione numerica delle PDE tramite operatori a differenze finite si rese indispensabile effettuare un cambiamento di coordinate (e di spazi): dallo spazio fisico si ‘saltava’ in quello computazionale, si eseguiva il calcolo a differenze finite su griglie cartesiane, si tornava indietro nello spazio fisico.

Figura 2

La Figura 2 rappresenta concettualmente questa serie di operazioni. Ad ogni cambiamento di spazio era associata una trasformazione con relativo Jacobiano J. La complicazione numerica, l’allungamento dei tempi di calcolo, le fonti di errore numerico derivanti e la lunghezza dei codici portò alla formulazione del Metodo dei Volumi Finiti, ovvero FVM (Finite Volume Method)

Il metodo ai volumi finiti adotta un approccio di tipo integrale nella formulazione discreta di una equazione differenziale. Il vantaggio principale del metodo ai volumi finiti è insito nella sua natura integrale: la capacità di impiegare volumi di forma arbitraria per la suddivisione del dominio fisico. Questa proprietà fondamentale consente di evitare i ‘salti’ dallo spazio fisico a quello computazionale e viceversa, con tutti i relativi svantaggi. La formulazione a volumi finiti consente di sfruttare un ulteriore proprietà di cui si dirà fra breve.

Forma Conservativa di una PDE

Dal punto di vista della fluidodinamica numerica è conveniente porre una PDE –se possibile- in forma di divergenza, detta anche forma conservativa.

Una PDE si dice in posta in forma conservativa se coefficienti delle sue derivate sono costanti o, se variabili, non compaiono esplicitamente nell’equazione.

Se tutte le derivate spaziali che compaiono all’interno di una PDE sono racchiudibili in un operatore divergenza, allora la PDE si dice posta in forma conservativa forte. Per esempio: la forma conservativa dell’equazione di continuità è:

(1)

in cui r è la densità, t il tempo, x,y,z le coordinate spaziali. La sua forma non conservativa è:

(2)

Nella fluidodinamica numerica si ha a che fare con equazioni discretizzate. E’ molto importante riuscire a trasferire la forma conservativa di una PDE anche nella sua rappresentazione discreta: gli schemi per i quali si riesce ad ottenere tale caratteristica riescono a ‘forzare’ la conservazione delle quantità fisiche sia nelle vicinanze di un punto della mesh, sia in regioni aventi volumi maggiori. Tale capacità si rivela critica in alcuni schemi, ed è ottenibile eseguendo la discretizzazione delle derivate a partire da una PDE posta in forma di divergenza.

DISCRETIZZAZIONE A VOLUMI FINITI

La discretizzazione a volumi finiti delle PDE, coinvolgendo la forma integrale delle equazioni differenziali, soddisfa automaticamente le leggi di conservazione della massa, dell’energia, della quantità di moto.

Considerata la seguente PDE di cui si vuole sviluppare una discretizzazione a volumi finiti:

(3)

dove U, E ed F sono i vettori rappresentativi del flusso, (in seguito si spiegherà meglio cosa essi siano), si consideri il volume finito (avente profondità unitaria, ma non è condizione stringente) rappresentato in Figura 3.

Figura 3

Integrando la (3) in tale volume si ottiene:

(4)

Assumendo la profondità unitaria il volume di integrazione diventa dxdy. Applicando il teorema di Green la (4) diventa:

(5)

ove S(1234) è la superficie del volumetto di integrazione, n la normale ed H, se i e j sono i versori degli assi, è dato da:

(6)

Poiché n ha espressione vettoriale:

(7)

allora:

(8)

Sostituendo la (8) nella (5) si perviene a:

(9)

Considerata ancora la fig. (3), se U_i,j è il valore di U mediato al centro della cella a due passi temporali successivi, E_i-1,j, E_i+1,j, E_i,j-1, E_i,j+1 i valori dei flussi di E (o di qualunque altra variabile di cui si voglia ottenere la rappresentazione discreta) alle facce della cella, la espressione (9) può essere approssimata, per esempio, nella maniera seguente (schema a celle centrate):

(10)

La (10) è solo una delle possibili formulazioni a volumi finiti che si possono ricavare per discretizzare una PDE. Ovviamente il discorso può essere esteso al caso tridimensionale. Nel metodo dei volumi finiti si possono adottare gli stessi schemi sviluppati per le differenze finite, ricordando che si fa riferimento a flussi e volumi anziché a differenze numeriche fra punti nello spazio.

Vettori di Flusso

Riguardo i vettori di flusso si era in precedenza annunciato un maggiore chiarimento. Si considerino le equazioni di Navier-Stokes. E’ possibile trascrivere tali equazioni in molte forme: da un punto di vista numerico torna particolarmente comoda la forma vettoriale. In tale forma le equazioni vengono espresse come somma di derivate di vettori, detti vettori di flusso, le cui componenti sono proprio i termini che compaiono all’interno delle equazioni stesse. Per esempio: prima di intraprendere lo studio numerico delle equazioni di Navier-Stokes è conveniente trascriverle in forma vettoriale come:

(11)

Nella (11) i vettori U,E,F,G, detti vettori di flusso, rappresentano rispettivamente le quantità:

(12)

Nelle (12) p è la pressione, mentre le t rappresentano le componenti opportune del tensore degli sforzi viscosi. Le derivate delle quantità che compaiono nei vettori rappresentano: la prima riga la conservazione della portata massica, la seconda, la terza e la quarta la conservazione della quantità di moto, la quinta la conservazione dell’energia. Per quanto concerne q_x, q_y e q_z esse sono le componenti, proiettate sui tre assi, del trasferimento di calore, la cui espressione vettoriale è data da:

(13)

essendo k il coefficiente di conduttività termica del fluido e T la temperatura. Il termine E_T rappresenta l’energia associata al fluido. Non si entra nel dettaglio del significato dei termini poiché ciò esula dallo scopo del presente articolo e si assume che il lettore abbia una certa dimestichezza con le equazioni di Navier-Stokes.